304 Gesainmtsitzung vom 7. März. 



alle Permutationon, die mit R in Ö' conju^irt sind. Sie bilden in ö' 

 eine, in iö «'l'Pr zwei Classen, die durch R und T'^RT = S repraesen- 

 tirt werden. Zwei solche conjttgirte Classen Aon *ö haben dieselbe 

 Ordnung-. 



Damit aber R nur mit positiven Permutationen vertauschbar sei, 

 ist nothwendig" und hinreichend, dass die Ordnungen der Cyklen von R 

 lauter verschiedene unirerade Zahlen sind. Denn jeder einzelne Cyklus 

 C von R ist eine mit R vertauschV)are Pennutation, und zwar eine nega- 

 tive, wenn seine Ordnung c gerade ist. Ist aber c migerade, und sind 

 zwei dieser Cyklen , etwa (1 , 2 , . . . c) und (c+l,c+2,.-2f) von gleicher 

 Ordnung, so ist R mit der Permutation (1 . c+ 1)(2, c + 2) ■•. (r^, 2f;) ver- 

 tauschbar, die aus einer ungeraden Anzahl c von Transpositionen lie- 

 steht, also ungei-ade ist. 



Wenn aber ilie Ordnungen c^,c\_, ■■ ■ c, der Cyklen C^,C„, ■■■ C, 

 von R lauter verschiedene ungerade Zahlen sind, so ist R nur mit 

 positiven Permutationen vertauschbar. Diese bilden eine Gruppe ver- 

 tauschbarer Elemente 



(I.) C^'C:''---C7' (y, = 0, l,...c,-l,...^. = 0,l,...c»-l) 



der Ordnung 



(2.) f = ^l'-'2 ■ ■ ■ Cs 



und sind alle gerade, weil die Basiselemente C^,C„, ■•■ C, alle gerade sind. 

 In der symmetrischen Gruppe §' sei u die Anzahl der ungeraden, 

 u + v die der geraden Classen. Dann ist v die Anzahl der Classen 

 von ö'; deren Permutationen aus lauter Cyklen Acrschiedener unge- 

 rader Ordnungen bestehen. In der Gruppe ^ zerfällt jede dieser 

 »Classen von JÖ' in zwei conjugirte Classen, jede der u anderen ge- 

 raden Classen von ö' bleibt aber auch in § ^ii^e Classe. Daher ist 



(3.) k = M + 2c, k' = 2« + V, 



und da u > v ist , so ist auch k' > k. 



§ 2. 



Mit Hülfe der Regeln, die ich in § i meiner Arbeit Über Re- 

 lationen zwischen den Charakteren einer Gruppe und denen ihrer Unter- 

 gruppen, Sitzungsberichte 1898 (im Folgenden mit U. citirt), ent- 

 wickelt habe, lassen sich die k Charaktere von § ziun grössten 

 Theile aus denen von Ö ableiten. Setzt man in einem Charakter 

 X(/S) von ö' föi' S nur die h Elemente R von §> «o ist %{R) eine 

 lineare Verbindung von den A" Chai'akteren <^*"'(Ä) der Gruppe §, 



