Frobenius: Über die Charaktere der alternirenden Gruppe. 305 



X(Ä) = 2 r.cpW (R) 



mit positiven ganzzahligen Coefficienten i\, und mithin ist 



R 



Für die sj'mmetrische Gruppe sind die beiden (im Allgemeinen 

 conjugirten complexen) Werthe %(i2) und y^{R~^) gleich. Durchläuft 

 (S die 2 h Elemente von §>'> so i'^t 



5 x('^')^ = 2/-. 

 s 



Ist T eine bestimmte negative Permutation, so durchlaufen R 

 und RT zusammen die 2 /(Elemente S von Ö» und mithin ist 



B R 



Der zu %(<S) associirte Charakter von ö' hat die Werthe te)(i2) = %(i2), 

 w{RT)^-%{RT). Ist nun xl^) nicht sich selbst associirt, so sind 

 %(-S) und ü)(<S) verschiedene Charaktere von Ö» und folglich ist 



2 x(S) "'(*') = 0, 2 xiRf - 2 x(Ärr, 

 also 



2 x(Ä) X{^-') = /'- 2r^=l. 



Daher ist von den k positiven Zahlen i\ eine gleich 1 , die anderen gleich 0, 

 und mithin ist %(i2) ein Charakter von §• So entspringt aus jedem der 

 u Paare associirter Charaktere von ö' ein Charakter von § > der die Be- 

 dingung 



(I.) x(T-'RT) = xiR) 



erfüllt, d. h. der sich selbst conjugirt ist. 



Ist aber %(S) sich selbst associirt, so ist y_,{RT) = 0, 



^ y^[Rf = 2/(, 2 '■;. = 2. 



Folglich sind zwei der Zahlen i\ gleich 1 . die anderen gleich 0, und 

 %[R) ist gleich der Summe von zwei verschiedenen Charakteren (p{R) 

 und \^(-R) von §• Nach U. § 2 sind dies, da § eine invariante Unter- 

 gruppe von §' i'^t' zwei conjugirte Charaktere, also 



(2.) ^iJ{R) = ^{T-^RT), x(R) = 9{R) + HR) = 9iR) + 9iT-'RT). 



Gehört R zu einer der u nicht zerfallenden Classen von §', so sind 

 R und T'^RT auch in i3 conjugirt und mithin ist für ein solches 

 Element R 



(u.) 9(^0 = HR) = ixiR)- 



Insbesondere gilt dies für R = E. Die Grade der beiden conjugirten 



