Frobenius: Ülier die t'liaraktere der alteriiirenden Gruppe. Hll 



■5 4- 



Dem Beweist' des oben axifgestellteii Satzes schicke ich zwei Be- 

 merk im, ti'eu voraus, die für beliebige Gruppen gelten. 



1. Seien 5i und JÖ2 zwei Gruppen der Ordnungen A, und A,, die 

 nur das Hauptelement gemeinsam haben. Ferner sei jedes Element 

 von Öl "^it jedem von ^., vertauschbar. Dann ist Ö = ÖiÖ-^ = JÖ-^Öi 

 eine Grupjie der Ordnung h^=h^K. Zerfallen die Elemente von öi 

 und §2 in Ä', und /i'j ('lassen, so zerfallen die von § in A: = Ä-i^aClassen. 

 Sind A^, By, ■■■ El, ■■■ (A,,. B^, ■■■ R^, ■■■) Repraesentanten der k^ (/cj 

 Classen A'on §1 (Öa)» *^o repraesentiren A^A^, A^B., , A„B^ , A„B^ . • ■ R^R^ .... 

 die Ar, ^„ = A- Classen von ß. Ist %i (Äj) (%2 (-^2)) eii^ Charakter von 

 Öi(5..)- und ist R = R,R.,. so ist y^{R) = Z,(-ß,)X2(/?,) ein Charakter 

 von ö- Setzt man für %i (Xj) '1er Reihe nach jeden der k^ (k^) verschie- 

 denen Chnraktere von 5i (02)^ •''O erhält man die /i\l\ = k verschie- 

 denen Cliaraktere von i3- Diese Sätze ergeben sich oluie Weiteres 

 aus den Eigenschaften, durch die ich in § i meiner Arbeit über die 

 Darstellung der endlirJien, Gruppen durch lineare Substitutionen. Sitzungs- 

 berichte 1897, die Charaktere definirt liabe. 



2. Zwischen den Charakteren % einer Grupjie ^^ und den Charak- 

 teren \1/ einer ihrer Untergruppen ® bestellt nach U. ij i (5.) die Relation 



(I.) 2;,-xW(Ä) = 4-:Si^('''(P). 



■" 9'U W 



Die positiven ganzen Zahlen r^, sind von der Classe (p ) des Ele- 

 mentes R unabhängig. Die g^ in © enthaltenen Elemente P der p'™ 

 Classe von § vertheilen sich auf mehrere, etwa auf m. verschiedene 

 Classen von ^. Sie seien durch P, .P^.-.P,,, repraesentirt. Besteht 

 die Classe von P„ aus ^ Elementen, so ist 



z a'(P) = /,ii'(P,) + /,a'(P,) + ••• + /,XP„). 



(?) 



Die Gruppe der Elemente von ®. die mit P vertauschbar sind, 

 ist enthalten in der Gruppe der Elemente von .'ö, die mit P vertausch- 

 bar sind. In dem Falle, den ich im Folgenden zu betrachten habe, 

 sind diese l)eiden Gruppen identisch für jedes der g^ Elemente P von (S, 

 die einer bestimmten Classe (p) von s3 angehören, oder jedes mit P 

 vertauscldiare Element von i3 i^^t in (Si enthalten. Die Anzahl der mit P 



vertauschbaren Elemente von § i'^f 7-- <lie Anzahl der mit P„ ver- 

 tauscliliaren P^lemente von ® ist 



/, = 4 = ... = /„ = 



