Frobenius: Über die Charaktere der alternirenden Grupjje. B13 



Die Classe (R) kann nur solche Elemente von ® enthalten, die 

 einer der beiden Classen {RiR^) oder (iS,S,) angehören. Denn jede 

 Permutation P der Classe {R) besteht aus s Cyklen C^, C„. ■■■ C, von je 

 Ci,c„ ■ ■■ r, Symbolen. Soll sie der Gruppe ® angcliören, so muss P := P^P, 

 sein, wo Pj nur die ersten c^, P^ nur die letzten n — (\ Symbole ver- 

 setzt. Dies ist aber nur möglich, wenn Pj = C^ und P„ =; €„■■■€, 

 ist, weil Ci die kleinste der Zahlen c^,c.^, ■■■ c, ist, also nicht als Summe 

 von einigen der Zahlen c^ .-. c;, dargestellt werden kann. 



Das ist der Grund, aus dem ich die n Symbole gerade in dieser 

 Weise in zwei Abtheilungen von n^ = Cj und n^ = n — Cj Symbolen ge- 

 theilt habe. Denselben Zweck erreicht man aber auch, wenn man 

 n^ = Cj, «2 = c, + ("3 + ■• • +(7j setzt, und man hat dann noch den Vor- 

 theil, dass nicht n^ = 1 sein kann. 



Demnach gehört P^ der Classe (R^) oder (*S\) an, und P, der 

 Classe (Pj) oder (.?,). Wie oben gezeigt, sind aber nur die Combi- 

 nationen 



{R) = fi?,Ä,) + {S,S,), (S) = (B,S,} + (S,B,) 



möglich. 



Die mit R vei-tauschbaren Elemente von § ^inc^ nach (i.), §1 

 sämmtlich in ® enthalten. Daher giebt es einen zusammengesetzten 

 Charakter (p(P) von §• ftu" <^^en 



ist. Setzt man 



F = P,P> = <^>C2---<^'s, E=^lE. = (-1) =(-1) 



und ist 4/(P) = (p(Ti'PZ) der zu (p(P) conjugirte Charakter, so ist 



q)(i?) = ü.(Ä) = U^ + Vip), 9(S) = ip{R) = tU-V^)- 



Für jedes Element Q^ von §5. das der Classe (P,) nicht angehört, 

 ist (p.iQo) = (p,{Tr^QiT„). Wendet man nun die Formel (i.), § 4 auf 

 das Element Q = P1Q.2 von § an, so steht rechts neben jedem Gliede 

 <pARi)<PJ.Q2) auch das Glied <p,(T-'R,T,)(p,{T-'Q,Z) und die Summe 

 dieser beiden Glieder ist eine rationale Zahl, die sich nicht ändert, 

 wenn man Q durch T'^QT^ ersetzt. Daher ist (p{Q) = ^^iQ) eine ganze 

 rationale Zahl, und dasselbe gilt für ein Element Q = QiR^ oder 



Q = Q.Q.- 



Folglich hat ö einen zusammengesetzten Charakter (p--J/ == S-, 

 der die Werthe 



(I.) -(i?) = )£^, ^(S) = -i/ep, ^(Q) = o 



