314 GesaiTiintsitzung vom T.März. 



hat, lalls (Q) irgend fiiio Cla.'^se ist, die von don beiden bestimmten 

 conjugirten Cla.ssen (R) und (.S) vcrscliioden ist. Für jede dieser beiden 



ClasstMi ist /i = \nid mithin 

 P 



i fi,^,^y=: 2/1. 



falls S-y die zu S-^ conjugirte complexc Grösse bezeichnet. Ist also, wie 

 in § 2 , S-(P) =2 r, (/)*"' (P), so ist Sr^ = 2, daher sind zwei der Zahlen r„ 

 gleich ±1, die übrigen gleich 0. Nun ist (p^'XE) eine positive ganze 

 Zahl und ^(E) = 0. Folglich ist S-(P) die Difl'erenz von zwei einfachen 

 Charakteren von Ö- Di<? beiden Charaktere ^ und vi/ von § , als deren 

 Difterenz S- oben erhalten ist, können zusammengesetzt sein. Von jetzt 

 an bezeichne ich mit cp und -d/ die beiden einfachen Charaktere von §, 

 deren Difterenz (p — yp:=^!^ ist. 



Ist x(P) einer der u Charaktere von Ö j tli<^ <'us einem Paare asso- 

 ciirter Charaktere von §' entspringen, .so i.st %(Ä) = x(N), und nach (i.) 

 ist mithin 2 ^^^-^Xf' = 0. Folglich ist keiner der beiden Charaktere <p 

 oder 4^ gleich 7,, sondern (p und -d/ gehören zu den 2« Charakteren vonö) 

 die aus den c sich selbst associirten Charakteren von Ö' entspringen, und 

 die in r Paare conjugirter Charaktere zerfallen. Der zu <p conjugirte Cha- 

 rakter w ist also von ep verschieden. Ist y^ = (p + w, so ist y^iü) = y^(S) 

 und mithin 2 h^ S-^y,,. = oder 2 '''. (</>;- v^j) (<^.' + 'f.) = ^ r u»<l weil (p 

 \on yV und von w verschieden ist, 2 '^,'4'»'^/ = ^'- Folglich ist w = \l/, 

 oder (p und 4^ sind conjugirte Charaktere. 



Das Paar conjugirter Classen {R) und {S) und das Paar conjugirter 

 Charaktere (p und -^ ordne ich einander zu. Dann entsprechen nach 

 (i.) verschiedenen Paaren (R), (S) verschiedene Paare (p, \I/ und um- 

 gekehrt. Die Werthe eines Charakters sind ganze algebraische Zahlen. 

 Daher ist yjR) ^ y^{S) = 2(p{R)-yep eine ungerade (rationale) Zahl, 

 dagegen y^Q) = 2(p{Q) = 2^{Q) eine gerade Zahl. 



Um den Inductionsschluss anwenden zu können, ist bisher s >• 1 

 vorausgesetzt. Ist also n ungerade, so bleibt ein Paar conjugirter Classen 

 (R), (S) übrig, deren Permutationen aus einem einzigen Cyklus von 

 71 Symbolen bestehen, und mithin auch ein Paar conjugirter Charak- 

 tere f, 4^, deren Summe und Difterenz ich mit x und S^ bezeichne. 

 Ist dann (/?), (S) irgend ein anderes Paar conjugirter Classen, und (p, vf 

 ilas entsprechende Paar conjugirter Charaktere, und ist 3- =^ 'P-yp, so 

 ist 2 /^&y0, = mid mithin (p(R) = (p(S) = \i/(Ä) = 4^(5). Ist also 

 (Q) irgend eine von [It) und (S) verschiedene Classe, die von der con- 

 jugirten ver.scliieden ist . so ist &(Q) = 0, (p{Q) = 4'iQ) = \%{Q)- Nach 

 §2 i.st (p(R) = \//(.S') und (p(S) = 4^(R). Die Elemente R und P"' ge- 

 hören derselben Classe an, wenn « "^ 1 (mod. 4) ist. zwei ciinJMgirtcii 



!l 



