Frobenius: Über die Charaktere der alternirenden Gruppe. 315 



Chissen, wenn n^ — l (mod. 4) ist. Im ersten Falle sind daher (p(R) und 

 (p {S ) reelle Grössen, im zweiten conjugirte comp] exe. Nun ist 2 h (p,' ^, = h, 

 also wenn e = (-l)i('-i) = + 1 ist, h,,[<p{R,)!^(R) + cp{S)^{S)) = h, also 



^(Rf = ^ =p=z7i. Ist aber e = -\, so ist Ä^('0(Ä)S-(,S) + ^{S)^{R)\ 



= h. also ^{Rf = -p. Mithin ist S-(Ä) = j/Fp, S-(S) = -Yep und dem- 

 nach gelten für diese Zuordnung dieselben Gesetze wie oben. 



Durch die Bedingung, dass y^(R) = x('S') ungerade, sonst aber 

 %{Q) gerade ist, ist die Zuordnung zwischen einem Paar conjugirter 

 Charaktere, deren Summe % ist, und dem entsprechenden Paar con- 

 jugirter Classen (R) , (S) vollständig bestimmt, und zwar muss, wie 

 oben behaujitet, y^ die Charakteristik 





haben . wenn 



Ci = 2ai + 1 , c'a = 2«2 + 1 . ■ • ■ c, = 2a, + 1 

 die Ordnungen der Cyklen von i? sind. Denn nach der Formel (11.) 

 § 7 meiner Arbeit Über- die Charaktere der symmetrischen Gruppe ist 



ungerade. Damit sind die k Charaktere von Ö vollständig bestimmt. 

 Entspricht die Classe (x) und die conjugirte dem Charakter x*"' 

 und dem conjugirten, so ist nach der Formel (9.), §4 der eben citirten 

 Arbeit und der Formel (6.), §3 dieser Arbeit 



j- =■ (2fli + l).--(2««+l) 



/(, /öl! ■••a,!n'{a„+i 



■i)y 



Nun ist 



und folglich ist 



(2 ) — 



/"' \ A(a,,---a,) 



das Quadrat einer ganzen Zahl. Das Product ü' ist nur über die j5(.5-l) 

 Paare verschiedener Indices zu erstrecken. Die in y}"} auftretende 

 Quadratwurzel kann daher aus 



E A , £ /( 



-j- oder ~j^ 



gezogen werden. Sie kann in Ausnahmefällen rational sein, z.B. wenn 

 n ^ 9 und R aus einem Cyklus von 9 Symbolen besteht. 



