Fuchs: Eine Gattung rationaler Curven. i • 



endlich durch Elimination von / aus den Gleichungen (12.) und (13.) 

 das Resultat 



Sjd . d., . p . p ) = O 

 oder 



(17.) R.ß,l>,ß.p,po) = o- 



Keine der 3 Functionen R , R t , R 2 besitzt einen Factor w(£, £„), dessen 

 sämmtliche Coefficienten gleichzeitig von ß,p, p a unabhängig sind, und 

 es können die Gleichungen (14.) bis (17.) nicht für = 0, £ = o iden- 

 tisch in Bezug auf p , p erfüllt werden. Ist nun z m+I ein in der s- Ebene 

 vorgeschriebener Punkt, so werden im Allgemeinen die Ausgangswerthe 

 ^ <o) , /3 (o) , c (o) so gewählt werden können, dass, wenn £ eine von <^ 0) 

 nach z m+1 hinführende Curve r in der c-Ebene beschreibt, ,3 und 

 sich so ändern können, dass die durch die Gleichungen (14.) bis (17.) 

 gebundene Mannigfaltigkeit £ , ^ , ,3 , p , p entweder gar nicht oder nur 

 eine gerade Anzahl Mal durchschnitten wird. 



Ist alsdann für <^ = z m+1 . S = S ra+J . c = p m+I , so wird die 

 Function 



„8.) . = «*w+«m.3m 



wo 



die Eigenschaft haben, dass für / = ,3, .;£,,.... 3„, , 3 m+I - bez. die 

 Werthe z I} z x , . . . , z m , z m+I annimmt und dass die Bedingung III für 

 dieselbe noch erfüllt ist. 



Da nun für m = 1 in der Gleichung 



(20.) 



jedem Werthe von z nur ein Werth von t zugehört, so wird also 

 durch successive Anwendung des angegebenen Verfahrens für eine be- 

 liebige Zahl n die Herstellung einer rationalen Function F(t) ermög- 

 licht sein, welche den im Eingange angegebenen Bedingungen I. II. 

 III Genüge leistet. 



Für etwa mögliche Ausnahmefälle kann auch das folgende Ver- 

 fahren eingeschlagen werden. 



Wir schalten zwischen der Punktreihe -,.:,...., .:„, einerseits und 

 -,„ +I andererseits eine endliche Anzahl von Punkten £, , £, , . . . , £ p ein. 

 indem wir denselben entsprechend p willkürlich gewählte nicht reale 

 mit p, , p, :,„ in derselben Halbebene / gelegene Grössen 



