M. Krause: Differentialgleichungen mit elliptischen Integralen. 259 



§ i. Normirung des zu behandelnden Problems in doppelter 



Form. 



Gemäss der üblich gewordenen Bezeichnungsweise wollen wir 

 eine lineare homogene Differentialgleichung n ter Ordnung, deren Co- 

 efficienten doppelt periodische Functionen erster Art sind, deren In- 

 tegrale ferner sich sämmtlich als gebrochene transcendente Functionen 

 darstellen lassen, eine PicARn'sche Differentialgleichung n tn Ordnung 

 nennen. 



Durch einfache Transformationen kann die Integration aller solcher 

 PiCARD'schen Differentialgleichungen auf die Integration von Gleichungen 

 zurückgeführt werden , welche nur einen wirklich singulären Punkt, 

 und zwar den Punkt u = iK' (u das Argument der elliptischen Func- 

 tionen), daneben lauter scheinbar singulare Punkte besitzen, deren 

 Integrale demnach im allgemeinen Falle sämmtlich die Form haben: 



ff S.fr-Qr) » 



Wir bleiben bei den Differentialgleichungen zweiter Ordnung 

 stehen und fragen: 



Welches sind die hinreichenden und nothwendigen Be- 

 dingungen dafür, dass zwei linear von einander unabhängige 

 Integrale die Form haben: 



und 



so dass das eine ■ — vom Zeichen abgesehen — aus dem 

 andern durch Umkehrung des Zeichens von v entstanden ist? 

 Derartige Gleichungen nennen wir gerade PiCARD'sche Differen- 

 tialgleichungen zweiter Ordnung. Der Grösse A können und wollen 

 wir einen bestimmten, noch näher zu bezeichnenden Werth geben; 

 ferner können und wollen wir annehmen , dass die -Grössen a r von 



1 T I T 



— , — , 1 . und die Grössen a\ von einander verschieden sind. 



2 2 2 2 



Es ist dieses die erste Normirung unseres Problems. Wir können 

 dasselbe noch auf eine zweite Art normiren. 



Wir fuhren dazu ausser den Argumenten der S-- Functionen v und 

 a noch die Argumente der elliptischen Functionen u und a. ein und 

 setzen : 



