M. Krause: Differentialgleichungen mit elliptischen Integralen. 2(il 



eine Integraldarstellung gefunden werden, die aus der vorhin aufge- 

 stellten sich ergiebt, wenn an Stelle von /: — / gesetzt wird. 



Aufgefasst als Functionen von z, sollen die Functionen (/>,(«) und 

 </) 2 (w) durch Z t und Z t bezeichnet werden. 



Unter solchen Umständen kann das vorhin nonnirte Problem auch 

 so gefasst werden: 



Es sollen die hinreichenden und nothwendigen Be- 

 dingungen dafür aufgestellt werden, dass eine lineare homo- 

 gene Differentialgleichung zweiter Ordnung die beiden In- 

 tegrale Z x und Z^ unter den vorhin näher bezeichneten An- 

 nahmen besitzt. 1 



Es ist dieses die zweite Normirung unseres Problems. 



In dieser Form hat sich zuerst Hr. Fuchs in seinen Arbeiten aus 

 den Jahren 1876 — 1878 mit dem vorgelegten Problem beschäftigt. 



§ 2. Reduction des Problems, bei beiden Normirungen, auf das 

 Problem eine lineare homogene Differentialgleichung 3'" Ord- 

 nung durch eine ganze rationale Function zu integriren. 

 Aus den Formen von Z x und Z^ folgt unmittelbar, dass sie der 

 Differentialgleichung 2 tcr Ordnung Genüge leisten: 



wobei gesetzt ist: 



m = >gw *(ifr :&w* w - ,g ^ w + **vr-*<#*A . 



Dabei müssen aber die Bedingungen bestehen: 



R(t r )G'(t r y 



Aus ihnen folgt der Ansatz: 



. . R(z)G'(z)' n 



(2.) ': — ^ = G(z)f(z), 



wobei die Function : 



<p(z)F(zy = 4s(z) 



eine ganze Function von z vom Grade m + 1 ist. 



Durch Differentiation der linken Seite ergibt sich der Ausdruck: 



G'(z)^(z) 



(I.) 



FW%{*)' 



1 Neben den schon citirten werde auf die Arbeiten aufmerksam gemacht: Über 

 die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche u. s. w., Crelle's Journal 

 Band 81; Sur les equations differentielles lineaires qui admettent, etc., Journal des 

 Mathematiques (3) IV. 



