M. Krause: Differentialgleichungen mit elliptischen Integralen. 263 



, . v ,,d 3 G (R\z) F'(z)„,\d>G dG 



F'(z)R'(z) zF'(zY — F(z)F"(z) 



dP 2 F'(z) 

 P ? = 2 -dz—*F(zj P °- 



Aus den entwickelten Betrachtungen folgt, dass die Integrirbarkeit 

 dieser Differentialgleichung durch eine ganze rationale Function vom 

 Grade m die hinreichende und nothwendige Bedingung dafür bildet, 

 dass die Differentialgleichung (4.) die beiden Integrale Z t und Z t unter 

 den angegebenen Einschränkungen besitzt. 



Zu derselben Differentialgleichung kommt Hr. Fuchs auf einem 

 andern Wege. 



Fassen wir die letzten Betrachtungen zusammen, so können wir 

 den folgenden Lehrsatz aussprechen: 



Die hinreichenden und nothwendigen Bedingungen dafür, 

 dass eine lineare homogene Differentialgleichung 2 ter Ord- 

 nung unter den angegebenen Einschränkungen zwei In- 

 tegrale von der Form Z x und Z t besitzt, lauten: 



I. Die Differentialgleichung muss die Form haben: 



II. die ganze Function G{z) leistet der Differential- 

 gleichung 3 ter Ordnung Genüge: 



D/ d 3 G (R\z) F'{z) „ t .\d'G dG 



B v-& + *[-* — m R{2) )^ + p>^= p >- G > 



wobei p 2 und p 3 die vorhin angegebenen Werthe besitzen 

 Diese Resultate können unmittelbar auf die PicARD'schen Diffe- 

 rentialgleichungen übertragen werden. Wir erhalten den 



Lehrsatz: Die hinreichenden und nothwendigen Bedin- 

 gungen dafür, dass eine PiCARü'sche Differentialgleichung 

 zweiter Ordnung unter den angegebenen Beschränkungen 

 zwei linear von einander unabhängige Integrale von der 

 Form <p,(u) und <p 2 {u) besitzt, lauten: 



I. Die Differentialgleichung muss die Form haben: 



d"<p d<p 



du 1 du 



II. die Function: 





