[Im — n — \){m — 2s — n — i) TV „ , _ 



a n n Xl = (m — s — n — i)[ v R"{z t ) — 4 {B -+- B 



1 • 2 



M. Krause: Differentialgleichungen mit elliptischen Integralen. 265 



Wir nehmen nun an, dass G(z), geordnet nach Potenzen von z — z„ 

 die Form annimmt: 



G (z) = (z — z,) m + d t (z — *,)— ' + • • • d m , 

 dann ergeben sich beim Einsetzen und Nullsetzen der Coefficienten 

 der einzelnen Potenzen von z — z, im Ganzen »1 + 3 Gleichungen , von 

 denen die erste für B, den Werth ergibt : 



m 

 (2.) #, = — (m — 2$+i)k*. 



4 



Die übrigen ersetzen wir durch die Recursionsformel: 



wobei die Grössen a die Werthe haben : 

 a*±* = (m — n + 1 ) (m — 2s — n — 1 ) [m — n — s) R{z[), 

 a" n +2 = (m — s — n — 4)((w — n).(m — 2s — n — i)R'(z 1 ) — 4c), 



a n n X\ = — {n + 2){2m — 2s — n — i)(m — n — s — f)k 2 . 



Zwischen den Grössen a bestehen dann die Beziehungen: 



(4-) o„ +£ _— a ni _ t , 



wenn : 



n l = 2?« — 2s — n — e — 1 



ist, und zwar für s = — 1,0, 1, 2. 



Zunächst folgt, dass die Grösse c einer Gleichung vom Grade 

 s + i Genüge leisten muss. In der That, setzen wir für n:m — s, 

 m — s+l,.,.ffl, so erhalten wir s + i Gleichungen mit den Unbe- 

 kannten d m _,, ... d m . Dieselben lauten: 



aZ-lXl'd m -s+* + a2- S s+? 'dm-s+i + <C- S s + *'dm-s = o, 



m _j-(-3 1 m _ s + 3 7 m — s-t-3 7 ,„_ s+3 j 



U m — s + 3 U m—s + 3 T^ u m — s+2 U m — s+2 »^ u m — s-t-l u m— s+i ■ u m— < u m—s u > 



«m + ' '<L + °m-I 'dm-, + ö™-a*<4-2 = ° 5 

 ° , m + 2 *^m + a m-. 2 '^m-i =0. 



Die Determinante D dieser Gleichungen muss gleich Null sein. Dieselbe 

 ist vom Grade s + i , die Gleichung 



D = o 



kann als algebraische Gleichung vom Grade s + i mit der Unbekann- 

 ten c aufgefasst werden. In der That, c kommt in allen Gliedern der 



