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Zur Theorie der algebraischen Functionen zweier 

 Veränderlicher. 



Von Prof. Georg Landsberg 



in Heidelberg. 



(Vorgelegt von Hrn. Frobeniüs.) 



.Durch eine irreductibele Gleichung 



(I.) F(x,y,z) — rt (j-, .'/.)-" + «iU.//);" _1 -i- ■•• T««-iU'. | //j:-r»,.t.r.i/J = 0. 



in welcher a , ■■■ o„ ganze rationale Functionen von x und y bedeuten, 

 wird die Variabele z als algebraische Function von x und y definirt. 

 Audi jede rationale Function u von x, y und z ist eine algebraische 

 Function von x und y und genügt als solche einer bestimmten Glei- 

 chung « ,en Grades 



(2.1 u" + />,(■>■■ .'/)«" _1 - ••■ + /',,-iU'. !/)» + K{sn, y) = 0, 



deren Coefficienten rationale Functionen von x und y sind und deren 

 linke Seite entweder irreductibel oder aber eine Potenz einer irreduc- 

 tibelen Function ist. Die Gesammtheit dieser rationalen Functionen u 

 von x, y und s bildet einen Körper V. algebraischer Functionen zweier 

 Veränderlicher. 



Wenn in der Gleichung (2.) die Coefficienten b lt ■ ■ ■ b„ ganze Func- 

 tionen von x und y werden und u also für endliche Werthe der unab- 

 hängigen Veränderlichen endlich bleibt, so heisst die Function u eine 

 ganze algebraische Function von x und y. Wenn die Coefficienten &,, ■ • • ö„ 

 bei ihrer Darstellung in der reducirten Form Nenner erhalten, welche 

 zu einer gegebenen ganzen rationalen Primfunction PU'.y) theilerfremd 

 sind, so heisst die Function ganz in Bezug auf den Modul P(x,y). 

 Die Summe, die Differenz und das Product zweier (im absoluten oder 

 im relativen Sinne) ganzer Functionen ist wieder eine ebensolche 



Function. Wenn der Quotient zweier ganzer Functionen — wieder eine 



ganze Function ist, so heisst u durch r theilbar. 



Die erste Aufgabe, welche sich in der Theorie der algebraischen 

 Functionen zweier Veränderlicher darbietet, ist die Herstellung eines 



