G. Landsberg: Zur Theorie d. algebr. Functionen zweier Veränderlicher. 291 



Analogons zur Riemann' sehen Fläche, auf welcher die algebraischen 

 Functionen einer Veränderlichen ausgebreitet werden. Diese Aufgabe 

 kann, indem man die ganzen Functionen des Körpers in Primideale 

 zerlegt, in ähnlicher Weise behandelt werden, wie diess von den HH. 

 Dedekind und Weber im Gebiete der Functionen einer Variabelen 

 durchgeführt worden ist (Cbelle's Journal Bd. 92). Es bleibe dahin- 

 gestellt, ob ein derartiges Verfahren im weitern Verlaufe der Unter- 

 suchung durch ein einfacheres und leichter zu handhabendes ersetzt 

 werden kann oder nicht; in jedem Falle bietet die. Methode im An- 

 fange den Vorzug, dass sie keinerlei künstliche Hülfsmittel heranzieht 

 und im wesentlichen nur in einer Gruppirung der Functionen des 

 Körpers nach naturgemässen , im Wesen des Gegenstandes begründeten 

 Gesichtspunkten besteht. 



Zu dem angegebenen Zwecke betrachtet man am einfachsten ganze 

 rationale Functionen einer beliebigen Anzahl von Unbestimmten, deren 

 Coefficienten ganze Functionen des Körpers sind: dieselben werden, 

 obwohl sie im allgemeinen nicht homogen sind, als Formen bezeichnet, 

 weil sie nur dem Zwecke dienen, das Coefficientensystem zur Unter- 

 suchung ihres grössten gemeinschaftlichen Theilers zu einem analyti- 

 schen Gebilde zusammenzufassen. Die Norm einer derartigen Form A 

 ist eine Form mit rationalen Coefficienten; wenn die Coefficienten der 

 Norm keinen gemeinschaftlichen Theiler besitzen, so heisst A eine 

 primitive Form. Zwei Formen heissen aequivalent, sobald sie sich zu 

 einander wie primitive Formen verhalten; Formen, deren Goefficienten- 

 systeme übereinstimmen und welche sich nur durch die Potenzproducte 

 der Unbestimmten unterscheiden, sind aequivalent. Die Gesammtheit 

 der ganzen Functionen des Körpers, welche nach Multiplication mit 

 einer primitiven Form durch eine gegebene Form A theilbar werden, 

 bildet ein Ideal. Eine Form, welche durch Hinzufügung einer belie- 

 bigen ganzen Function des Körpers entweder in eine aequivalente oder 

 in eine primitive Form übergeht, heisst eine Primform, das zugehörige 

 Ideal ein Primideal. Mit Zugrundelegung dieser Definitionen gilt dann, 

 ganz ebenso wie in der Theorie der algebraischen Zahlen, der Satz 1 : 



Jede ganze Function des Körpers ist auf eine und nur 

 eine Weise in Primdivisoren (Primideale) zerlegbar. 



Wir gelangen nun von diesen arithmetischen Begriffsbildungen 

 zu den Anschauungen der Functionentheorie zurück, indem wir jedem 

 Primdivisor ^3 des Körpers in bestimmter Weise ein eindimensionales 



1 .Man vergleiche für die genauere Ausführung dieser Sätze insbesondere L. Kro- 

 nkcker, Arithmetische Theorie der algebraischen Grössen. §§ 14—18. A. Hurwitz. Gott. 

 Nachrichten 1894. 27. Oct., H.Weber, Lehrbuch der Algebra, Bd. II, Buch IV, Ab- 

 schnitt 16. 



