298 Gesammtsitzung vom 5. April. 



algebraisches Gebilde zuordnen. Es sei P(x.y) diejenige ganze ra- 

 tionale irreductibele Function von x und y, welche durch *p theilbar 

 ist, und es sei die Norm der zu dem Divisor %\ gehörigen Form genau 

 durch die f u Potenz von P theilbar. Unter dieser Voraussetzung kann 

 man / ganze Functionen des Körpers z x , s 2 , ... z, finden, derart, dass 

 eine Relation 



b,*, + i-2 -2 + h vjzj = (mod. <p) 



für ganze rationale Coefficienten o, ,••■?> nur bestehen kann , wenn 

 i\ •-■■ r f sämmtlich durch P(x,y) theilbar sind, und dass jede mod. "p 

 ganze Function £ des Körpers auf eine und nur eine Weise in die 

 Form gesetzt werden kann: 



£ = «, ?, + a. t z % + ■ • • + a-fZf (mod. <P) , 

 wo die Coefficienten ot, ,...o^ rationale Functionen von x und y sind, 

 welche nur mod. P(x,y) in Betracht kommen; ein derartiges System 

 von / Functionen des Körpers heisst ein Fundamentalsystem für den 

 Modul ?p. Man kann dann leicht zeigen, dass man eine ganze Func- 

 tion des Körpers so auswählen kann , dass die / ersten Potenzen 

 1, 0, 0~, ■ ■• © /_1 ein Fundamentalsystem bilden. Eine derartige Func- 

 tion genügt also einer Congruenz /"" Grades mit ganzen rationalen 

 Coefficienten : 



(3.) k {x,y) ef+h{x,y) 0/-' + ... + *>_,(*, 1/) + k f (x,y) = (mod.«p), 



während eine ähnliche Congruenz (/— 1)"" Grades für nicht statt- 

 linden kann. Wir betrachten nun dasjenige algebraische Gebilde, wel- 

 ches durch die beiden Gleichungen 



, . } P(x,y)^=0 



[3 "' } i k {x,y) • Qi+kfay) St 1 + ■ ••• + k f ^{x,y) ©o + Ay(.ivy) = 



definirt ist und welches zu einer RiEM.\NN"schen Fläche gehört, die 

 /"-blättrig über der durch P(x,y) = gegebenen RiEMANN'schen Fläche 

 ausgebreitet ist. Da ferner jede mod. %* ganze Function £ des Körpers 

 auf eine und nur eine Weise in die Form 



: h {x , y) + A, (,<•, y) + ■ • • + Vi (* . V) ® f ~ l ( mod - $) 



gesetzt werden kann, so können wir jeder solchen Function die Function 



£ = h B (x,y) + h 1 (x,y) O + ••■ +A^(*,y) &£' ( p (*,y) = 0) 



zuordnen: sind alsdann £ und £' zwei Functionen des Körpers Sl, so 



werden den Functionen £+£', 2£> ^7 von ßdie Functionen £ ±£o, £o£o> 77 



des Körpers R(x, //. O ) zugeordnet. Der Körper der algebraischen 

 Functionen zweier Veränderlichen wird also durch diesen Process auf 

 einen Körper algebraischer Functionen einer Veränderlichen in der 

 Weise abgebildet, dass alle rationalen Beziehungen erhalten bleiben. 



