G. Landsberg: Zur Theorie d. algebr. Functionen zweier Veränderlicher. 299 



Dabei werden alle diejenigen Functionen u, deren Nennerideal 

 durch S P theilbar ist, auf den Werth oo abgebildet. Wenn man aber 

 eine Function - bildet, deren Zählerideal durch die erste Potenz von ^3 

 theilbar ist, so wird man alsdann stets eine positive ganze Zahl r so 

 bestimmen können, dass das Product UT r auf eine von Null und Un- 

 endlich verschiedene Function des Körpers R(x,y, O ) abgebildet wird, 

 und die Zahl r wird man als Ordnung des Unendlich Werdens der 

 Function u in ^3 zu bezeichnen haben. Wenn andererseits u in s ]3 

 nicht unendlich wird und auf die Function u abgebildet wird, so wird 



- ebenfalls in s 13 nicht unendlich. Durch Fortsetzuns 1 dieses Ver- 



fahrens erhält man alsdann für einen beliebigen Primdivisor S X* und 

 eine beliebige Function u des Körpers eine Reihenentwickelung der 

 Form 



(4.) U = U 7T r + U l 7T r+1 + IU_Tt r+i + ■ ■ • + (/„_ 1 r7 r + "- 1 + IJ7T r + ", 



worin - eine durch *p, aber nicht durch *p 2 theilbare Function des 

 Körpers 12, u . u x , ■■■u„_ l Functionen des Körpers $(x,y. O ), die Rest- 

 function v eine in s }3 endliche Function des Körpers P. bedeutet. 1 — 

 Alle diese Begriffsbestimmungen sind unmittelbar auch auf diejenigen 

 Divisoren zu übertragen . in denen x bez. y unendlich werden ; man 

 hat nur zu diesem Zwecke das algebraische Gebilde der Transformation 



x = —, bez. y = — - zu unterwerfen. 



x' ■' y< 



Die sämmtliehen auf diesem Wege erhaltenen Primdivisoren lassen 

 sich nun in zwei verschiedene Gruppen eintheilen , welche genau der 

 Eintheilung der Punkte der RiEMANN*schen Fläche in gewöhnliche und 

 in Verzweigungspunkte entsprechen. Zu jedem Primdivisor ^3 gehört 

 eine bestimmte irreductibele ganze Function P{x, y), welche durch "53 

 theilbar ist, und der Divisor %s ist nun in die erste oder die zweite 

 Gruppe aufzunehmen, je nachdem P die erste oder aber eine höhere 

 Potenz von *J3 als Factor enthält. Ist P genau durch die % te Potenz 

 von s }3 theilbar, so wird, wenn man in den zu ^3 gehörigen Glei- 

 chungen (3" ') die Coefficienten variirt und die Variationen von einer 

 unendlich kleinen Grösse e abhängig macht, deren absoluter Betrag 

 constant ist und deren Amplitude von bis 2-, 4-, •■• sich verändert, 

 ein in dieser Weise gebildeter Nachbardivisor nach et Umgängen in 



1 An die Darstellung (4.) lässt sich die Lehre von den Reihenentwickelungen der 

 algebraischen Functionen zweier Veränderlicher in der Umgebung eines beliebigen Prim- 

 divisors anschliessen. Diese Reihenentwickelungen sind von Hrn. Hensel zur Grund- 

 Inge der Untersuchung in einem auf der Münchener Naturforscherversammlung gehal- 

 tenen Vortrage und in einem in den Acta Mathematica demnächst erscheinenden Auf- 

 sätze gemacht worden. 



