G. Landsberg: Zur Theorie d. algebr. Functionen zweier Veränderlicher. 301 



%, 



gilt, so folgt, dass der Differentialquotient ~ den Divisor Tl ebenso 



dy 



oft wie der Quotient §^ enthält. Berücksichtigt man nun auch die 



Divisoren, in denen eine der Variabelen unendlich wird, indem man 

 lineare Substitutionen anwendet , so findet man die Divisorenzerlegung : 



3f = S» K 



5 3» % u? 



und ebenso 



(5.) ■-•=?,<* 



worin U,. II,. !l. die Unendlichkeitsdivisoren der Variabelen x, y. z be- 

 deuten. Beide Formeln kann man. wenn u und v irgend zwei Func- 

 tionen des Körpers 12 bedeuten, zu der Formel verallgemeinern: 



(6.) J = X-- J -=^, 



S^ «. 



durch welche eine beliebige Functionaldeterminante als Divisorenquotient 

 dargestellt wird. 



Die Formel (6.) kann in ähnlicher Weise für die Aufstellung in- 

 varianter Anzahlen bei birationaler Transformation verwendet werden, 

 wie in der Theorie der Functionen einer Veränderlichen die Bestim- 

 mung der Null- und Unendlichkeitsstellen eines Differentialquotienten 

 zum Beweise der Erhaltung des Geschlechtes dient. In der That, es 

 mag, wenn <P und Q irgend zwei Divisoren bedeuten, welche keinen 

 Theiler erster Stufe mit einander gemein haben, mit (^3, Q) die An- 

 zahl der Punkte bezeichnet werden, w r elche in beiden Divisoren ent- 

 halten sind. Dann folgt aus der Formel (6.), dass für einen beliebigen 

 Primdivisor ^3, der weder im Zähler noch im Nenner aufgeht: 



( 7 .) (g,, «p) -2(u.,«p)- 2 (u„«p) = (3,,^)-2(U„,<P)-2(ii,.,?i) 



ist, und wir gelangen so zu einer Reihe von invarianten Zahlen, welche 

 bei allen birationalen Transformationen wieder zum Vorschein kommen 

 müssen. Eine genauere Untersuchung der so zu erhaltenden charakte- 

 ristischen Anzahlen im Zusammenhange mit den analogen Ergebnissen 

 des Hrn. Noether (Math. Ann. Bd. 2 und 8) muss einer ausführlicheren 

 Arbeit vorbehalten bleiben. 



Eine weitere Consequenz der vorangehenden Sätze ist eine genaue 

 Begriffsbestimmung des »Divisors der Doppelcurve« und seines Zusam- 



