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Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe. 



Von GL Frobenius. 



(Vorgetragen am 2G. April [s. oben S. 417].) 



Die sämmtlichen Permutationen von n Symbolen 1, 2, ••■ ;/, sind die 

 Elemente einer Gruppe £> der Ordnung h = n!, die man die sym- 

 metrische nennt. Eine Permutation kann .stets und nur in einer Weise 

 als Product von cyklischen Vertauschungen dargestellt werden, von denen 

 nicht zwei ein Symbol genieinsam haben. Damit zwei Permutationen 

 in Bezug auf fö conjugirt seien, ist nothwendig und hinreichend, dass 

 sie aus gleich vielen Cyklen derselben Ordnung zusammengesetzt sind. 

 Bestehen die Permutationen der p ten Classe (p = 0, 1, •■■ Je— 1) aus 

 cl Cyklen der Ordnung 1, ß Cyklen der Ordnung 2, y Cyklen der Ord- 

 nung 3, • • • , so ist ihre Anzahl nach Cauchy gleich 



(i.) h,= 



l"a!2' 3 ß!3yy!--- ' 



Die Anzahl Je der Classen conjugirter Elemente, worin die h Permu- 

 tationen zerfallen, ist gleich der Anzahl der Lösungen der Gleichung 



(2.) n = a + 2ß + 3y+ ■■■ 



durch positive ganze Zahlen u,ß,y, •■•, die auch Null sein können, 

 oder auch gleich der Anzahl der verschiedenen Zerlegungen der Zahl 

 (3.) n = ni+nt+ ... 



in eine unbestimmte Anzahl positiver Theile. 

 Um die k Charaktere der Gruppe § 



x w (p = o,i,—.*-i; x = o,i, ■■ k--i) 



zu berechnen, benutze ich k bestimmte Untergruppen von £)• Nach- 

 dem die Zahl >i in die Summanden (3.) zerlegt ist, bilde man alle 

 Permutationen, die nur die ersten ?^ 1 Symbole unter sich vertauschen, 

 ebenso nur die folgenden n 2 Symbole , u. s. w. Diese Permutationen 

 bilden eine Gruppe © der Ordnung 



(4.) g = nj. n% \~-. 



Jede Permutation R von © zerfällt in eine Permutation i?, unter den 

 ersten w, Symbolen, eine Permutation R„ unter den folgenden n, 2 Sym- 



