Frobenius: Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe. •) 1 ( 



holen, u.s.w. Besteht R,, aus «,. Cyklen der Ordnung 1, 3, Cyklen 

 der Ordnung 2, ■••, so ist 



(5.) »1 = tti+2ß 1 +--, n 2 = a'i+2ß,+ ••■, •■•, 



und wenn R in S> der p ten Classe angehört, 



(6.) a = a 1 +a,+ ••;, ß = ß 1 +ß s +.--. 



Die Anzahl der in © enthaltenen Permutationen dieser Classe ist daher 



* e l«'« 1 !2^ß 1 !--- r= a .,!2' ; =ß,!--- 



die Summe erstreckt über alle Lösungen der Gleichungen (5.) und 

 (6.). Haben diese Gleichungen keine Lösung, so ist g 2 = 0. Sonst 

 ist, da 



(7.) r- = l«a!2 /3 ß!3">'y! 



ist, 



gh. *a x !a,!--- ß,!ß,! 



Seien a^a?,, •••#„, unabhängige Variabele, deren Anzahl m nicht kleiner 

 ist als die Anzahl der Theile //., , //,, ■•• von n. Dann ist diese Summe, 

 ausgedehnt über alle Lösungen der Gleichungen (5.) und (6.), gleich 

 dem Coefficienten von x"'x n : ■■■ in der Entwicklung des Productes 



(8.) (*! + **+•••+ x m ) a K + «2 + ■ •• + ^,) 3 W + ^ + ■ • • + x D y ■ ■ ■ 



nach Potenzen der Veränderlichen. 



Dieses für die folgende Untersuchung grundlegende Ergebniss lässt 

 sich auch ohne jede Rechnung so einsehen: Sei R = C l C.,---C s eine 

 Permutation der p te " Classe, die aus s Cyklen von je c\,c 2 , ■■■ , c s Sym- 

 bolen besteht, so dass 



(9.) n = d+Ci+ ■■• +e t 



ist. Nach den Entwicklungen in § 1 meiner Arbeit Über Relationen 

 zwischen den CMrakteren einer Gruppe und denen ihrer Untergruppen, 

 Sitzungsberichte 1898, die ich im Folgenden mit U. citiren werde, 



siebt die Zahl -f- e an, wie viele der -Untergruppen von £, die mit 



9 h i 9 



% conjugirt sind, die Permutation R enthalten. Man findet diese 



Gruppen, indem man die n Symbole auf alle möglichen Arten in 



Systeme von je ii 1 ,n i ,--- Symbolen theilt. und die Symbole jedes 



dieser Systeme in jeder Weise unter sich vertauscht. Die Anzahl der 



so erhaltenen Gruppen ist 



h n\ 



