Frobenius: Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe. 519 



Es hat den Werth 0, wenn zwei der m Zahlen einander gleich sind, 

 sonst den Werth +1 oder — 1, je nachdem unter den Differenzen 

 k 2 — k x , k A — Ii\, k a - 1\ . • ■• eine gerade oder ungerade Anzahl negativ 

 sind, je nachdem in der Folge &, . A\ . ■•■ k m eine gerade oder ungerade 

 Anzahl von Inversionen vorkommt. 

 Dann ist in dem Producte 



(2.) (^,+x 2 + --- + .r„ ( r(.r[ H.C + --- + .r)M.^ + ^ + .-- + 4)>'..-A(.r 1 ,.(- 1 ,,- ■ ■ .v,„) 



jeder Coefficient eine ganzzahlige lineare Verbindung gewisser Coeffi- 

 cienten des Ausdrucks (8.). §i und mithin ebenfalls ein zusammen- 

 gesetzter Character von .vS. Wie ich darauf gekommen bin, die sym- 

 metrische Function (8.), §i durch Multiplication mit dem Differenzen- 

 prodncte in eine alternirende zu verwandeln, geht aus dem folgenden 

 Beweise deutlich hervor. In dieser alternirenden Function bezeichne 

 ich den Coet'tieienten von 



*i' -i'l- ■ ■ ■ -iv,'" '"'* [^ , X 2 , • • • X„ | x] '■ 

 Das Symbol (Ä) bezeichnet das System der m Exponenten \ , ~A„ . ... /.,„. 

 deren Summe 



(3.) M + X 2 + • • • + X,„ =n + ±m(m-l) 



ist. und das Symbol (p) die durch die Zahlen a, ß ,y •■• der Zerlegung 

 (2.). § 1 bestimmte Classe conjugirter Elemente von i\ Ebenso wie 

 die Gassen denke ich mir die verschiedenen Lösungen der Gleichung 

 (3.), wobei es auf die Reihenfolge der Summanden nicht ankommt, 

 ganz willkürlich numerirt und mit (0), (l).-- allgemein mit (/.) be- 

 zeichnet. 



Für ein bestimmtes Ä bilden, wie ich jetzt zeigen werde, die k 

 Zahlen 



Xf ] ( P = 0,l,-*-l) 



einen (einfachen) Charakter von vk für verschiedene A verschiedene 

 Charaktere. Ist m = n, so giebt es gerade k Systeme von je /• ver- 

 schiedenen Zahlen, die der Bedingung 



(4.) Xi + XsH +Xn = ' n(n + l) 



genügen. Denn ordnet man in einer Lösung die Summanden so, dass 



(5.) X!<X 2 <•••<*„ 



ist. so entspricht ihr eine Zerlegung der Zahl n in die Theile 



*i < x 2 — 1 Sni-2S • • ■ < •<„ — n + ] 

 und umgekehrt. Mithin liefert die alternirende Function 



(6.) (x l +.r, + - ■ . + . r „)"(.r= + .(^ + " . + £)& (^ + x * + . ■■ + .r; i \- • • ■ A(.c, ..,-., . ■ • • .r„) 



= X [üi , x 2 , • ■ • x„] x w <' 3% ■ ■ ■ -C 

 (») * 



