520 Gesamintsitzung vom 10. Mai. — Mittheilung vom 26. April. 



die Werthe der k Charaktere der symmetrischen Gruppe §. Man er- 

 hält sie schon alle, indem man in dieser Summe von n\Tc Gliedern 

 nur die k betrachtet, worin die Exponenten der Bedingung (5.) ge- 

 nügen. 



Zwischen den Charakteren \J^ x) einer Gruppe £> bestehen die Re- 

 lationen 



( 7 . ) 2 h t if/ (x) üj { ;' ] = h , 2 K i'^ tyf ) = , 



falls (Ä) von dem zu (x.) inversen (conjugh'ten complexen) Charakter 

 (■/.') verschieden ist. Nun sei 



x? = 2r„4f> 



ein zusammengesetzter Charakter, seien also die Coefflcienten r K posi- 

 sitivc oder negative ganze Zahlen. Dann ist, weil ^*' ) = ypf* i st > 

 Xh iXtXi - = h-Xrt. 



Kann man also zeigen, dass diese Summe gleich h ist, so muss eine 

 der Zahlen r x gleich +1, die Je — 1 anderen gleich sein. Ist über- 

 dies % eine positive ganze Zahl, falls (0) die Hauptclasse ist, so folgt 

 daraus, dass % ein (einfacher) Charakter ist. Kennt man mehrere 

 solche Charaktere -/}'\ yjf , • • ■ und ist 



2A e x W X ( ^ = °' 



e e • 



so sind sie von einander verschieden. 



Für die symmetrische Gruppe vereinfachen sich diese Formeln noch 

 dadurch, dass die in der Formel (6.) auftretenden Charaktere %^ nur 

 reelle Werthe haben, also den inversen Charakteren gleich sind. 



§3- 

 Um die aufgestellte Behauptung zu beweisen, führe ich ein zweites 

 System von m unabhängigen Variabelen y x , y 2 , ■•■y m ein und bilde, die 

 Summe 



( 1 .) 2 -f (*, + • • • +.r„r (*J + ■ ■ ■ + xlf • • • (y, + ■ ■ ■ + y m )° {y\ + ••• + >LV ■ ■ ■ 



- 1 ,^y (* + ■■• + ;r »')" (yi + ■ • • + y-f ^7 (*!+■■■+ *')" (;/?+■■• + vi v ■■■■ 



Beschränkt man die Exponenten a, , /3 , 7 , • • • zunächst nicht durch die 

 Bedingung 



(2.) a + 2ß + 3y+ ••■ =n, 



sondern ertheilt jedem die Werthe von bis », so ist die' Summe 

 dieser Reihe 



>', + •••+*,„) (y, + •• +.'/,„)+': (.<■; + ■•■ +■'•;,) (.</; + ■ ■■ + .yi) + ■■ ■ 



