Fbobenhis: Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe. .l21 



Führt man in jedem Gliede die Multiplication aus, so wird der 

 Exponent gleich 



- l{l — x 1 y l ) — l(\ — x l y^ — l{\ — x 2 y l ) — •■• —1(1 — x m y m ). 

 Folglich ist die Summe gleich dem reciproken Werthe des Productes 



{\-x l y l )(i-x 1 y 3 )(i-x a y 1 ) ■•'■ {l~x m y m ). 

 Multiplicirt man daher den betrachteten Ausdruck noch mit 



A(.r,,:t;. 2 , ■■■ x m ) A(y 1 ,y 2 , • ■■y m ), 

 so wird er nach einer bekannten Formel von Cauchy gleich der De- 

 terminante ///'"' Grades 



1 

 I 1 — x H y„ 



(H,v = 1,2, ■m) 



oder ausgerechnet 



2 [f, f., • • • M (i-^^oci— ks«0 — (i— u-SfcO' 



Nun ist 



= 2^ x x if, 

 \-xy 



und folglich ist die Determinante gleich 



. 2 2 [ Mi , m-2 , • • • it.] < yi' «£ # ■ ■ ■ *£ JÄT. 



oder wenn man in jedem Gliede die Factorcn in geeigneter Weise 

 umstellt, 



(3.) 2[x 1 ,x 2 , ••• x,„][X,, A 2 , ••• >,„l.''i'.C---.C» y\'yl'---y m ". 



Jeder der m Exponenten \,K, ■ ■ ■ A„, durchläuft die Werthe von 

 bis 00. Sind zwei dieser Exponenten einander gleich, so hat das 

 Glied den Coefficienten 0. Für jedes System von m verschiedenen Ex- 

 ponenten durchlaufen x lt x a , • ■ ■ x m die m ! Permutationen von \ , A s , •• ■ X m . 

 Nimmt man in der .Summe (1.) nur die Glieder, die der Bedingung 

 (2.) genügen, so hat man sich in der Reihe (3.) auf die Glieder zu 

 beschränken , worin 



(4.) X! + X, + ■ ■ • + /.,„ = 11 + ! 111 (in - 1 ) 



ist. Daher ist diese endliche Reihe nach (6.), §2 gleich 



2(2'5;x^xf ) )[^---^H>.,.---M<' 



■<•„/" .'/.' • • • //„:"•. 



wo über alle Werthsysteme x , Ä zu summiren ist. die der Bedingung 

 (4.) und der analogen Bedingung 



y-\ + *2 + • • • + y«, = n + \ m (m - l ) 

 genügen. Wenn sich also x l ,x 2 , •■■ X m von X,. /.._,, ■■ • Ä,„ nicht durcl) die 

 Reihenfolge allein unterscheiden, so ist 



