52*2 Gesammtsitzung vom 10. Mai. — Mittheilung vom -2t! . April. 



im anderen Falle aber ist die Summe gleich h. Damit ist der wesent- 

 liche Theil des Beweises erledigt, und es ist nur noch zu zeigen, dass 

 die Zahlen % ( k) = f^ positiv sind. 



Für die Hauptclasse (0) ist * = n, ß = 0, 7 = 0, ■ • • , und daher ist 



(5.) (*! + «* + •■•+ •<•»,)" A(*i, x. ■ ■ ■ x m ) = X [*„ ••• x m ]/w^,' ■ • • .<;. 



Die linke Seite ist gleich 



\ Mi ' ■ • ■ M„ ' / 



wo « = 11*!+ h \x m ist, und x^x,,, • • ■ x m eine der m\ Permutationen der 



Zahlen 0,1, ■•• m-\ bedeutet. Die Function — r = ^ rr ^ ist Null, wenn 



fx! 1%) 



jj. negativ ist. Das Product der beiden Summen ist gleich n\ mal 



In dieser Summe ist der Coefficient von .«t ■ ■ ■ .1,'," gleich der Deter- 

 minante m'*" Grades 



/W _ 1 



T = = I ( K - v + 1 ) ! 



Multiplicirt man die Elemente der ^ ,e " Zeile mit \ ! , und dividirt man 

 die der /'"Spalte durch (v — 1) ! , so erhält man 



! ••■ (m-1 )! Ä 

 Das Zeichen 



(u,v = l ,2, ... m). 



(j;\ #(# — 1) • • ■ (x — n + 1) 

 nj ~~~ 1-2 ••• n 



brauche ich auch in dem Falle, wo x eine Variabele ist. Die Zeilen 

 der letzten Determinante sind die Werthe der Functionen 



(:)•(;)■■••(«"-.)•*•=•»•»■•••■»-: 



Die Grade dieser Functionen sind 0,1 ■••m-1. Sind also \ , X, , ••• A„, 

 unabhängige Variabele, so ist diese Determinante gleich A(A,,A 2 , ■•• A,„) 

 bis auf einen constanten Divisor A(0, 1 , -•• m— 1), # den man erhält, 

 indem man A, = , A 2 = 1 , ■ • • A,„ = m- 1 setzt. Da 

 A(0, 1 , •■■m-l) = 0! l! ••• (m-1)! 

 ist, so ist 



1 ' •' XilX.! ••■*.! 



also positiv, wenn A, < A 2 < • • • < A„, ist. 



