Frobenius: Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe. 52.) 



Um die k verschiedenen Charaktere zu erhalten, müssen wir 

 m = n setzen. Dann ist x'"' durch ein System von n Zahlen 



( I .) (x) = *i , x a , • • • «« 



charakterisirt , die den Bedingungen 



( 2 .) xj + x 2 + - ■ • + x„ = { n(n + 1 ) , < x, < x 2 < ■ ■ ■ < x„ 



genügen. Was die Beziehung zwischen den beiden Entwicklungen (2.) 

 und (6.), § 2 betrifft, so ist 



wenn (x) in dem Falle ?». < rc das System der ra Zahlen 



(3.) K l ) "2 * - * *n = , 1 , • • • jJL— 1 , jU. + Xi , ■ • • (U + \ m (m+|U = n) 



ist. Umgekehrt ist in dem Falle m> n 



(4.) X t , X» , • • X,„ = , 1 , • ■ • fi — 1 , jn + Xi , ■ • ■ jm + x„ (« + fj = m). 



Um also von m unabhängig zu sein , könnte man die von Null ver- 

 schiedenen unter den Zahlen 



Xj < X 2 - 1 < k 3 - 2 < ■■■ < X,„ - m + 1 



zur Definition des Charakters % verwenden. Es erweist sich aber als 

 praktischer, dazu die folgende Charakteristik zu benutzen. 



Die n Zahlen (1.) sind alle < In — 1, denn den Maximalwerth 

 2n— 1 erreicht x„ , wenn die n— 1 anderen Zahlen die Minimalwerthe 

 x, = , x 2 = 1 , ••• x. n _ x = « — 2 haben. Seien a, , o 2 , ■•• a„ die Zahlen 

 0,1, ■••n — \ in irgend einer Reihenfolge. Dann sind 



m — 1 — «! , « . — 1 — a 2 , • ■ • n — 1 — a„ 



dieselben Zahlen. Von diesen mögen n — r unter den Zahlen (1.) vor- 

 kommen , etwa n— 1 - a r+1 , ■ ■ ■ n - 1 - a n . Die übrigen r der Zahlen ( 1 .) 

 sind >n, und mögen mit n + b l , • •- n + b r bezeichnet werden. Dann 

 nenne ich 



/ «i «2 • • • o, r \ 



{5 - ] w = u&;...t) 



die Charakteristik von yJ K) . Damit sie völlig bestimmt sei, möge 



(6.) a x < a 2 <•••<«,. , />! < b 2 < • • ■ < b r 



sein. Die Gleichung (2.) lautet jetzt 



(n-1- a r+I ) H + (n-l-a n ) + (n + b x ) + • • • + (« + K) = { » (»■ + 1 )• 



Ferner ist 



»M h a, + a r+l H \- a n = + H h (re-l) = y "(« - 1) 



