Frobenius: Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe. o25 



fehlen unter ihnen die r Zahlen m — 1 — a x , m — 1 — o 2 , m— 1 — a,. Um 

 r y}' ) mit Hülfe der Entwicklung des Ausdrucks (2.), § 2 zu berechnen, 

 braucht man darin nur m > a r + 1 zu wählen. 



Den der Charakteristik (5.) entsprechenden Charakter werde ich 

 auch mit 



X' 





bezeichnen. Setzt man z. B. in der Formel (2.), § 2 m — 2. so er- 

 hält man 



(10.) (I-0) (1 + x) a (1 + x*f (1 + tf 3 )v • • • 



= 1 + ^( W - 2 ) + ^ X (o,- 3 ) +a;3x (?»-4) + -- 



+ ^! 2 W -Li) + -' 



falls X<4-(ra + l) ist. Ist w + 1 gerade und A = i-(?z + l), so ist der 

 Coefficient von # x gleich 0. Dann kehren dieselben Coefficienten in 

 umgekehrter Reihenfolge, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen wieder. 

 Daher ist z. B. 



x( w - 2 )= tt - 1 ' x(^ M : 3 )=u( a -3) + ß, 



(11.) x(J w *J = T«(«-l)(a-5) + (*-l)ß + y, 



XL B ^ 5 ) = n*(«»-i)(«-a)(«-7)+T(*-i)(*-8)P+Tß(ß-3)+(*-i)y+< 



Der letzte Ausdruck hat demnach für alle Lösungen der Gleichung 



ot, + 2ß + 'iy + i$ = 7 den Werth 0. 



§5- 

 In besonders einfacher Weise lassen sich die Charaktere ersten 

 Ranges berechnen. Dazu gehört der Charakter %(R) = x-\, der 

 (U., § 5) jeder zweifach transitiven Gruppe von Substitutionen zukommt. 

 Seine charakteristische Function ist 



(I.) F(x) = (l-;c)"-Ml-A- 2 ) fl (l-« 3 ) y •■■• 



Denn die Summe der Wurzeln der Gleichung F{x) = ist %{R) = et — 1, 

 und die Summe ihrer x te " Potenzen ist -&(R"), nämlich gleich der An- 

 zahl der Symbole, die R" ungeändert lässt, vermindert um 1. Nach 

 den Resultaten des § 2 meiner Arbeit Über die Composition der Charaktere 

 einer Gruppe, Sitzungsberichte 1899, ist der Coefficient von {-x)"~ l 

 in der Entwicklung von F(x) nach Potenzen von x eine lineare Ver- 

 bindung der Charaktere von § mit ganzen positiven Zahlencoefficien- 



