Frohenius: Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe. 5_/ 



Endlich ist der Coefficient von 



in A(a; 15 •■■oc n _ l , »)a£ +> ' gleich +1. 

 Daher ist 



+(-^(„-^)+-+(-)-x("7 2 )+<-«)-'x("r)- 



Die Charaktere ersten Ranges sind also 



'3-' x(.! 4 ) = (*» 1 )-i- i ) s+ »'' 



-CHrM";')^-»-^)-*-- 



Ferner ist 



(4 .) x ("~ l \ = (-iy+*+- = (-iy-, 



wenn s = a. + fo + y + &+■■■ die Anzahl der Cyklen von /£ ist, und 

 allgemein 



x(i) ( =(-u^- x (;),. 



§6. 



Ist <ö die symmetrische und © die alternirende Gruppe des Gra- 

 des n, und ist T irgend eine ungerade Permutation, so ist §==© + ©T, 

 wo der Complex © die ö«! geraden, und der Complex @!T= 2'© die 

 \n\ ungeraden Permutationen enthält. Diese beiden Complexe sind die 



Elemente der Gruppe ", der Ordnung 2. Sie hat zwei Charaktere, 

 1, 1 und 1,-1. Folglich hat die Gruppe £> einen Charakter 

 (,.) X W = x ( n - 1 J =(-!)»+»+•■■ =(-!)»-, 



der für die Elemente von © den Werth + 1 , für die von ©2 1 den 

 Werth - 1 hat. Durch Multiplication mit diesem Charakter ersten 

 Grades ergieht sieh aus jedem Charakter % w ein anderer % w . Zwei 

 solche Charaktere, für die 



(2.) X W = X (») X (.), x W = x (x) x (i) 



ist, nenne ich assoäirte. Hat % ( "\R) für jede ungerade Permutation R 

 den Werth 0, so ist dieser Charakter sich selbst associirt. Sonst 



