Frobenius: Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe. .)1j.) 



2n—l—X 1 ,--- 2n—l—X n die Zahlen n—l-a l} ■■■ n—\-a, ., n + t> l+l , ■■ ■ n + b„, 

 und A, , • • • A„ selbst die Zahlen n — 1 — b r+1 , • • • n — 1 — Ö n , n + a x , ■ ■ ■ 9l + a r . 

 Daher sind 



associirte Charakteristiken , oder es ist 



Eine Charakteristik ist folglich stets und nur dann sich seihst 

 associirt, wenn a t = b x , ■■• a r = b T ist. Dann ergiebt sieh aber aus 

 der Gleichung (7.). § 4 



(8.) n — {2a, + ])+■■■ + (•_>«, + 1) 



eine Darstellung von n als Summe von lauter verschiedenen ungeraden 

 Zahlen. Umgekehrt entspricht jeder solchen Darstellung eine sich selbst 

 associirte Charakteristik 



Vh ■ ■ ■ a,J 



(9.) (*) = ' ■ a l + a a +---+a t = ±(n-r). 



\rti • • ■ «,./ 



Die Anzahl v der sich seihst associirten Charaktere von "5 ist 

 also gleich der Anzahl der Darstellungen von n als Summe von lauter 

 verschiedenen ungeraden Zahlen. Zufolge der bekannten Formel 



n(l + tf a - 1 )= i-.n(l-(-l)— x «") 



ist diese Anzahl gleich der Differenz der Anzahl der Zerlegungen 



(IO.) n = c 1 + c 2 + c 3 + 



wofür 5(c-l) gerade ist, und der Anzahl derer, wofür %(c—l) ungerade 

 ist . also gleich der Differenz zwischen der Anzahl der geraden und 

 der ungeraden Classen. Die k Classen zerfallen demnach in 



(1 I.) i(k+ v) = u + d gerade und \(k — v) = u ungerade Classen. 



Jeder Darstellung (8.) entspricht eine Zerlegung 



u = 1 + (2a, + 1) + • ■ • + (2«,.-! + 1) + 2«,., 



wofür %{c— 1) ungerade ist. Daher ist u~>v, nur für n = 3 ist u = v. 

 Die hier entwickelten Sätze sind von Wichtigkeit bei der Berech- 

 nung der Charaktere der alternirenden Gruppe, die sich, wie ich näch- 

 stens zeigen werde, aus ihren Beziehungen zu den Charakteren von 

 Untergruppen ebenfalls vollständig bestimmen lassen. 



§7- 

 Ich hebe noch einige specielle Fälle hervor, worin sich gewisse 

 Werthc von Charakteren in einfacher Weise bestimmen lassen. Die 



