Frobenu's: Über die Cliai'aktei'e der sy einsehen Gruppe. 531 



wo #,/3, • • ■ S- und A.fj., ■ ■ ■ t zwei Permutationen der Zahlen 1 ,2, • • •*• sind. 

 In einer anderen Reihenfolge mögen diese s Gleichungen lauten 



<•; — 1 = a y + öi , c, — 1 = fli + b 2 , ■•• Cg—l = a, + b s . 

 Zu dem Gliede 



[« + />,,-■• n + b e , ii - 1 -a, + i, ■■ ■ n -\-a„] x\ x) • p " +i ' ••' x 1 +l '° x "+i~" ,+ ' •' ' X T'~"" 

 von (3.) erhält man also einen Beitrag, indem man das Glied 

 gfl-i-ay ... a*- 1 -»' x"~l~ a '+ l ■■ ■ #"~ l ~°» 



von A (.r, , • ■ ■ ,r„) mit dem Gliede x°£ ■ ■ -x c J von (5.) multiplicirt. Daher ist 

 ^(x) = [_ ßs+1 _i, an — \,b t , ■■■b a \ X [— a, +1 , a n , — a y , «„] 



oder, wenn man wieder die Reihenfolge (6.) herstellt, 



X<") = 2 [— « s+ i-l , a„— l,b k , ■• ■ b r ] [-a i+1 , «„,— a.„, ■ ■ ■ —a&\, 



die Summe erstreckt über alle Lösungen der Gleichungen (6.). Das 

 Produet der beiden Vorzeichen ist gleich 



[/>,,■■■ b T ][a a , •••«s](-l)^*- 1 > 

 sign. (a s+l -a a ) ■■• (a„ — a a ) •■• (a a+1 -a&) ••• (n„-aa). 



Das letztere Vorzeichen ist, da sich et , ß , • • • S- von 1 , 2 , • • • s nur durch 

 die Reihenfolge unterscheiden, gleich 



sign. (a s+1 -«i) ■•• («„-«1) •■• (a s+1 -a s ) ■■■ (a n -a s ). 



Da a 1 <a 2 < ■ ■ ■ < a s ist , und a lt ••• a, , a s+l •••«„ = 0,1, ■■■ n-\ sind , so 

 kommen unter den Zahlen a s+l , • • ■ a„ die Zahlen 0,1, •••c 1 — 1 vor, und 

 demnach sind unter den n — s Differenzen a s+l — a 1} ■■ • a n — a^ genau a x 

 negative. Ebenso kommen unter den Zahlen o. t+l ,---a„ die Zahlen 

 0,1,-ff, -1 vor mit Ausnahme von a x , und demnach sind unter den 

 n — s Differenzen a s+1 -a, , ■■■ a n -a„ genau a 2 -l negative. 

 Daher ist das letzte Vorzeichen gleich 



(_l)o.+(<i|-l)+(<I.-2) + - ■+(o,-«+l). 



Da endlich b 1 <b 2 < ■■■ <b s ist, so ist [6 X , b^ , • • • b T ] = [X , \x , ■ • • t] , und 

 folglich ist 



(7-) x <;> = (-i)«.+^-"»2[a,ß,...^[x, M ,---T], 



die Summe erstreckt über alle Lösungen der Gleichungen (6.). Ein 

 Glied dieser Summe hat den Werth + 1 oder - 1, je nachdem A, \x, ■■■ r 

 eine positive oder negative Permutation von at,,8,---S- ist. 

 Ist z. B. 



(8 .) c 1 — l=a l + b l , c a — 1 = a 2 + b 2 , • • • c s — l=a s + b s , 



so ist damit eine Lösung der Gleichungen (6.) gegeben. Eine andere 

 können sie nicht haben. Denn ist a^ + \ = c l — 1 = a a + b x so muss, 



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