Frohenius: Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe. .).>.> 



erhält man, indem man von der Summe x[ +••■+ x' n nur das erste 

 Glied nimmt. Er ist gleich 



S( ! _L_ 1 1 



-L^.^, ••■*„] (Xi _ c _ Xi) , (X2 _ X2)! —(x.-x.)! ' 



also nach § 3 gleich 



Dividirt man durch 



und multiplicirt man mit 



so wird 



— ( 



eine Summe von n Gliedern, deren erstes 



( Xi - c-X 1 )(X 1 -c-X 2 ) ••■(Xi-c-X„) X t (X! -!)■•• (Xt- c + 1 ; 

 (Xi-X^.-.tX.-X,,) 

 ist. Setzt man 



<p(x) = (.r-XO-'-f-i'-X,,). d'(x) = (iC-c-X!)---(a;-c-X B ) x {x-1 )• • •( s-c + 1), 



so ist also 



-c*A;XJ x) _ vHX.) ^(X„) 



/« 9'M 9'(X n ) 



d' (x) 

 oder gleich dem Coefficienten von ,r~ l in der Entwicklung von 



9 (x) 



nach absteigenden Potenzen von x. Ist 



so erweitere man diesen Bruch mit 



(%-(n-l -«,)) ••• (#-(«-] -a,)) (#-e-(n-l -ad) ■•• (a;-c-(n-l --«,.)). 



Nun sind die Zahlen 



Xi , • ■ ■ X„ , /« — 1 — «i , • • • » — 1 — «, 

 gleich 



, 1 , • • • n - 1 , n + b x , ■ ■ ■ n + b r . 



Ersetzt man nun .(' durch x + n, so wird der Bruch gleich 



(.(• + », + 1) •••(•(• + ", + 1)1 x -<■-//,)■■( x - c - b r ) x(x - 1 ) ■ ■ • ( x - c + 1 ) 

 | x - /<, ) • • ■ ( x - />,) ( x - c + ih + 1 ) • • • (x - c + a,. + 1 ) 



Ist also 



(x — bt) ■ ■ ■ (x — b r ) 



(13.) /(*) = 



(.r \ n t + l) ■■■ (x + a,.+ l)' 



