988 Gesammtsitziing vom 26. Juli. — Mittheilnng vom 12. April 



Compositioii eines der ersten beiden Objecte mit einem der letzteren 

 ist niclit erforderlich. 



Die EuKLinische Definition jener als »Proportion« (iva.'Ko'^itci) be- 

 zeichneten, symbolisch dm-ch: 



0, : 0, = O3 : 0, 

 dargestellten Beziehung zwischen 0, , 0, , O3 , 0^ bezweckt und er- 

 möglicht auch für incommensurable Grössen die Aufstellung von 

 Proportionen, z. B. derjenigen, wonach die Peripherien verschiedener 

 Kreise in demselben Verhältnisse zu einander stehen, wie ihre Durch- 

 messer, und auch der folgenden: 



Kreispei-ipherie : Durchmesser = Kreisfläche : Halbmesserquadrat. 

 Doch Avird eben nur der Begriff der Proportion, nicht der Begriff 

 des Verhältnisses, bei Euklid mathematisch fixirt,' und es ist auch 

 nichts anderes erforderUch , als die in der Proportion enthaltene Be- 

 ziehung zweier Grössen zu zwei anderen zu praecisiren. 



Li der That braucht man nur gemäss den im art. XXX ent- 

 haltenen Entwickelungen das System zweier Grössen (,5, , 5,) selbst, 

 nicht irgend ein »Verhältniss« oder eine Beziehung von 5, zu 5,, der 

 Betrachtung zu Grunde zu legen und den Begriff der Aequivalenz 

 zweier Systeme: 



(5, > S2) cvi (5, , 3,) 

 so zu fixiren, dass deren Bestehen an das der Proportion: 



gebunden ist. Alsdann sind alle diejenigen Systeme: 



welclie man erhält, indem man c einen beliebigen Wertli beilegt, 

 einander aec^uivalent, und es ist auch andrerseits jedes dem Systeme 

 (3, , 5,) aequivalente System unter den Systemen (rj, , rj,) enthalten. 



Der Quotient ^ , oder irgend eine ganze oder gebrochene lineare 



Function desselben, ist die einzige »Invariante« jener Aequivalenz, 

 und die.se ist es, durch welche der »Wertli des Verhältnisses« 3, : 3, 

 dargestellt wird. 



Fasst man x, y als rechtwinklige Coordinaten eines Punktes 

 in der Ebene auf, so wird jedes System (x , y) durch einen J'unkt 

 repraesentirt; die mit (3, , 32) aequivalenten Punkte (.t , ?/) sind alscj alle 

 diejenigen, welche die Gerade ^^3.^ =: 3/3, erfüllen. 



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^ Vergl. Hankel's Ausführungen auf S. 389 bis .S. 398 seines AVerkes: «Zur 

 Geschichte der Mathematik im Alterthiun und Mittelalter». 



