Kuon'Ei'KKr: Complexp /ahlcn nnd Modulsysteme. 9S9 



Nimmt man an Stelle der beulen Grössen 3, , y zwei Olyecte 

 C, , 0,, so hat man als Bedingungen für die Aequivalenz der beiden 

 Systeme : 



(0,,0,)CND(03,0.,) 



jene einzufülircn, welche oben gemäss den EuKLmischen Festsetzungen 

 für das Bestehen der Proportion: 



O, : 0, = 0,, : O4 

 angegeben Avorden sind. Tritt nun der erste jener Fälle ein, giel)t 

 es also zwei ganze Zahlen m,n, wofür 0"' gleich 0^ ist, so werden 

 alle mit (0,, 0,) aequivalenten Systeme (0,, 0^ durch die Proportion: 



0^:0^ = m : n 

 sowie dadurch charakterisirt, dass 0, gleich 0" und dass also, ge- 

 mäss den obigen Ausführungen , 0., durch 0," zu bezeichnen ist. Der 



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 Bruch — bildet also hier wiederum die Invariante der Aecpüvalenz und 

 )i 



stellt den Werth des »Verhältnisses« 0, : 0, in praecisera mathema- 

 tischen Sinne dar. Führt man aber auch in dem Falle, wo kein Zahlen- 

 paar (w.,w) von der angegebenen. Beschaffenheit und also kein Bruch 

 existirt, durch den eine Invariante der Aequivalenz dargestellt werden 

 könnte, ein Rechnungssymbol 3 'l<if'ii' Phi, so müssen gemäss den 

 obigen Aequivalenzbedingungen die Ungleichheiten : 



in _ u 



bestehen, in welchen die l)eiden Brüche — und -^- sich einander be- 

 ll V 



liebig nähern lassen. In diesem Falle giebt es cüso nur ein «Inter- 

 vall« von beliebig kleiner Grösse, welches für alle einander aequi- 

 valenten Systeme (0,, 0.j) invariant ist imd an Stelle jenes »Verhält- 

 nisswerthes« 0, : 0, tritt. 



Wenn, wie bei Euklid, vom Gebrauch der Brüche abgesehen 

 wird, so existirt auch für aecpiivalente Systeme ganzer Zahlen: 



(w , Jl) , (///' , //) , {/ii" , «") , . . . , 

 deren Aequivalenzbeziehung : 



{)// , n) cx) (///', /?') CO (?«", n") CO . . . 

 durch die Proportion: 



tn : n = m' : «'= )n" : »."= . . . 

 definirt wird, keine Invariante, also kein «Werth des Verhältnisses 



