Kronecker: Complexi' Ziililen imil ^Nlodulsystenie. j91 



einem bestimmten Wertlie von c ents})rielit, als Repraescntanten der 

 Classe anseilen. Aber noch allgemeiner kann man, von der in oben 

 angegebener Weise durch die Proportion: 



0, : 0, = 0, : 0, 



definirten A equivalenzbeziehung : 



(0, , 0,) cvi (7;, , a) 



ausgeliend, alle unter einander und mit (0, , 0,) aequivalenten Systeme 

 von zwei Objecten (0, , 0,) in eine Classe vereinigen und irgend 

 eines dieser Systeme, z. B. (0,, 0,), als Repraesentanten der Classe 

 wählen. Diese Betrachtung ist es, welche der Aufstellung des Ver- 

 hältnisses 0, : 0, zu Grunde liegt. Nicht eine Beziehung von 0, zu 0, 

 wird durch 0, : 0, dargestellt, sondern es ist darunter nichts Anderes 

 zu verstehen, als »das System (0, , O^) , aufgefasst als Repraesentant 

 der ganzen Classe von Systemen (Ö, , 0,) , welche durch die Proportion : 



0, : 0, = Ö. : Ö, 

 bestimmt werden. 



Die in der angegebenen Weise zu bildenden Classen von Systemen 

 (0, , Oj) sondern sich in zwei verschiedene Arten. Die (lassen di-r 

 einen Art enthalten Systeme von zwei (ganzen) Zahlen {m , n) und 

 sind also durch ein solches System, bei welchem übrigens m und n 

 zu einander j^rim angenommen werden können, zu repraesentiren. 

 Bei den Classen der anderen Art ist dies nicht der Fall. Nur die 

 Systeme (Ö, , 0,) der ersteren Art sind es, bei denen — wie man 

 sich ausdrückt — 0, und 0^ in rationalem Verhältniss zu einander 

 stehen, und es ist demnach die hier bezeichnete Sonderung der Classen 

 in zwei Arten, welche für die Unterscheidung der sogenannten Ver- 

 hältnisse in rationale und irrationale den praecisen mathematischen 

 Ausdruck giebt. 



Denkt man sich, um die vorstehenden Erörterungen zu specia- 

 lisiren und zugleich weiterzuführen, an Stelle der Systeme (j') > (j") » 

 (j'") , . . ., wie oben, eine Reihe Volumina o', v", v'", . . . und an Stelle 

 der Coraposition ö((5'), (j")) die »Vereinigung zweier Volumina r', i'"«, 

 d. h. diejenige Composition, welche bei der Maassbestimmung ange- 

 wandt wird, so erhält man nach art. XXXI eine Bezeichnung durch 

 Indexsysteme : 



deren Elemente rationale Zahlen sind. Dabei ist die Anzahl der Ele- 

 mente gleich der Anzahl derjenigen Volumina w , welche in Bezug auf 

 ihre Maassgrösse mit einander incommensurabel sind. 



