VJ'2 Gesammtsitzunsi vom 2(1. Juli. — JMittliPihing vom 12. April. 



So braucht man z.B., wenn eine Reihe von Volumina aus der 

 Vereinigung von Würfel- und Kugel-Inhalten gebildet wird, zu deren 

 Bezeichnung Systeme von zwei Indices, sobald die Würf'elkanten und 

 Kugelradien sämmtlich mit einander commensurabel sind. Ist nämlich 

 j,(i) ii-gend eines der Würfelvolumina und 4'' das Volumen einer Kugel, 

 deren Radius gleich der Kante des Würfels »'" ist, so sind es nur 

 Volumina i'' , Vo~°' mit rationalen Indices z , z^, 3,us deren Vereinigung 

 alle einzelnen Volumina jener Reihe gebildet werden können. Jedes 

 dieser Volumina wird also dvu'cli einen » Zahl encomp lex « (-: , ~o) ^^^' 

 zeichnet, und es ist die entsju'echende »com]^lexe Zahl« z -\- -^- z^ir , 

 welche — bei der üblichen Ausdrucksweise — das «Verhältniss« 

 jenes Volumens zu dem Volumen r"' angiebt. Doch ist dabei -, wie 

 oben dargelegt, als Invariante der für beliebige W^erthe von z ein- 

 ander aequivalenten Systeme (»'"' , i^J;') , nur durch ein Intervall von 

 beliebig kleiner Grösse bestimmt. 



Liegt ein Körper mit dem Volumen i; ganz innerhalb der 

 Kugel mit dem Volumen r|,'* und diese wieder ganz innerhalb eines 



Körpers mit dem Volumen r ' , so ist das Volumen r " physisch 



kleiner als v^K und dieses wiederum physisch kleiner als c " ; es 

 muss deshalb, wie schon oben bemerkt worden, nm'<,m'n sein. 

 Die ganzen Zahlen m , n , in' , n können nun so bestimmt werden, 

 dass für irgend eine gegebene beliebig kleine Grösse r die Ungleichheit: 



besteht, und man kann daher auf Körper -Volumina in ähnlicher 

 Weise, wie es oben in den Abschnitten XXXIII und XXXIV für 

 rationale Zahlen geschehen ist, den Aequivalenzbegrifl" anwenden. 

 Liegt nämlich sowohl die Begrenzung eines Körpers K' als die eines 

 Körpers K" zwischen den Begrenzungen zweier Körper, deren Volu- 

 mina die rationalen Zahlen r' und /■" als Indices haben, und sind r' 

 und ?•" in dem oben näher bezeichneten Sinne mit einander aequivalent, 

 so dass beide Zahlen in einem und demselben Aequivalenz -Intervalle 

 von der Grösse 2t enthalten sind, so können auch die Volumina der 

 beiden Körper K' und K" als »physisch aequivalent« bezeichnet 

 werden, insofern die Begrenzungen beider Körper in einem Intervalle 

 mit dem Volumen v'^-'K d. h. also in einem Räume liegen, dessen 

 Volumen einen gegebenen beliebig kleinen Index hat. Dabei ist es, 

 eben so wie bei der Entwickelung im art. XXXIV, für die theoretische 

 Deduction durchaus wesentlich, dass die Grösse des Aequivalenz- 

 Intervalles -ir unbestimmt gelassen und deren zweckgemässe Be- 



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