KRONErivEE: Complexe Zahlen und Modulsystemc. .)!)o 



Stimmung für den einzelnen Fall der Anwendung vorbehalten wird. 

 Der so fixirte Begriff der pliysisclien Aequivalenz, mit Unbestimmt- 

 heit des Aequivalenz- In tervalles 2t, ersetzt im Falle der Incommen- 

 surabilität den Begriff der physikchen Gleichheit und praecisirt zu- 

 gleich die Bedeutung aller jener Ausdrücke, welche der Behandlung 

 der commensurablen Grössen entnommen und auf den Fall der In- 

 commensurabilität übertragen werden. 



XXXVII. Um dies näher darzulegen, knüpfe ich an das durch 

 d;is Kugelvolumen z'J," gegebene Beispiel an. 



Es seien x,y,z rechtwinklige Coordinaten, und man denke sich 

 in der bei der Cubatur üblichen Weise den kugelförmigen Raum: 



X' + //- 4- z' < '/■' 



durch Ebenen getheilt, die den drei Coordinatenebenen |»;irallel sind. 

 Dabei sollen die zwei einer Coordinatenebene nächsten parallelen Ebenen 

 im Al)stand ~ von derselben liegend angenommen werden, \md der 

 Abstand je zweier benachbarten parallelen Ebenen soll gleicli Eins sein. 

 Von den auf diese Weise entstehenden WHirfeln liegen alle diejenigen 

 innerhalb der Kugel, deren Mittelpunkt um mindestens ^1/3 von der 

 Kugeloberfläche abstehen, also sicher alle diejenigen, deren Mittel- 

 punktscoordinaten : 



X ^ a , y = b , z ^ c , 

 der Ungleichlieit: 



a^ + Ir + r < (/■ — if 



genügen. Die Anzahl dieser Systeme ganzzahliger Werthe {a , h , c) 

 möge mit w.^{r — i) bezeichnet werden. 



Nun erhellt, dass man (für eine beliebige positive ganze Zahl n) 



aus rr:^{/i — 1) Würfeln, deren jedes ein Volumen mit dem Index — 

 hat, einen ganz innerhalb der Kugel mit dem Volumen rj,'' liegenden 



Körper K' bilden kann, dessen Volumen den Index — hat. 



Man kann aber auch einen Körper K" bilden, innerhalb dessen 

 die Kugel liegt, und dessen Volumen den Index ^ :, hat. 



Hierbei giebt w.^ {/i — i) die Anzahl der Systeme ganzzahliger Werthe 

 {a , b , c) an , für welche : 



ß' + 6= + c' < (n — if 



ist, und w^{n+i) die Anzahl derjenigen, für welche: 



u- + b- + c- < {n + I )' 



