994 Gesainmtsit/.nnt; vom 2(). Juli. — IMittheiliini;- vom 12. A])ril. 



ist. Die Dift'ereiiz rxj.^{n+ i) — m.^{n — i) wird aber, wie sich leicht 

 zeigen lässt, mit wachsendem n proportional /r, und es kann daher n 

 so gross angenommen werden, dass: 



cpj {?i + I ) — ©3 (?^ — I ) 



d. h. die Differenz der Indices der beiden Volumina von K" und K',~ 

 kleiner als eine beliebig gegebene Grösse 2r wird. Es bedarf also 

 nur noch einer Praecisinmg des Sinnes, in welchem zwei rationale 

 Zahlen : 



als aequivalent zu betrachten sind, um darnach den Sinn der ent- 

 sprechenden physischen Aequi\'aleiiz der Körper-Volumina zu fixiren. 

 Zu diesem Zwecke soll nun al)er überhaupt die Bedeutung näher 

 erörtert werden, welche der Rechnung mit den sogenannten «irratio- 

 nalen Zahlen« und der Aufstellung von Beziehungen zwischen den- 

 selben beizulegen ist. 



XXXVIII. Es seien (p {k) , -^^ (k) ganze Zahlen , welche durch ein 

 bestimmtes arithmetisches Verfahren aus jeder der Zahlen A: = i , 2 , 3 , . . . 

 zu bilden sind, so dass: 



(</)(,). -^(O), (</,(•2),^^(2)), (<f(3),^^(3)),... 



eindeutig bestimmte Systeme von Functionen der Zahlen 1,2,3,... 

 repraesentiren. Lässt das zu deren Bildung dienende Verfahren er- 

 kennen, dass, wenn eine positive beliebig kleine rationale Zahl t 

 gegeben ist, der Ungleichheitsbedingung: ' 



{l5o) I (/. {m) 4^ {n) - cp {n) 4^ {m) | < r | x^ {m) x|/ (/?) | 



für jede Zahl n, die grösser als m ist, durch geeignete Bestimmung 

 der Zahl 7« genügt werden kann, so constituiren die bis zu einem 

 beliebig grossen Werthe k^n gebildeten Brüche: 



(/)J_I_) 0^) ^p^^_ ip{u) 



^^(I)'■.^(2)'•■•^KÄ•)'■■x«.y 



»eine Reihe von rationalen Zahlen, die mit wachsendem k 

 gegen einander convergiren « , und die Ungleichheit (Sq), welche 

 in der üblichen Bezeichnungsweise so dargestellt werden kann: 



(So) lim lim -rj". ~ ,^^ 



enthält iVw erf(ird(>rliclie "Convergt'n/J)edingung«. 



