IvRONErKER: f'oinplcxe Znlilon und Modnlsysteine. 999 



t sind, da erst das lutervall, in welcliem der Wertli von 

 liegt, sich als dasjenige Aequivalenz- Intervall sicher bestimmt, 



zngleich erfüllt sind, da erst das Intervall, in welchem der Werth von 



4" {'"ir) 



<p i^A 



in welches die Zahlen -j— r,- convergiren. In der That bestehen als- 

 dann die Ungleichheiten: 



V,/,_, < lV,_, + (>-£) ^r < p^ < iv,+, - - ( I + e) <^V < iv, + , 



■4/ (/i) 



für jede Zahl 7i, die grösser als m/,^ ist, und s wird dabei durch die 

 Gleichung : 



4/ (»?ä,) yp {n) 



definirt. ist also, vermöge der ersteren jener l)eiden Bedingungen, 

 ein positiver oder negativer echter Bruch. 



Das Bestehen der Divergenzbedingung (S) enthält folgende 



charakteristische Eigenschaft der Reihen , der zweiten Art, d. h. 



■4/(k) 



derjenigen, bei welchen kein rationaler Grenzwerth lim , , existirt: 



Welche rationale Zahl /• auch gegeben sein möge, so lässt 

 sich das Intervall, in welches hinein die rationalen Zahlen 



<P (k) 



-T— — mit wachsendem k convergiren, stets auf eines von 



so kleiner Grösse Sr einschränken, dass r ausserhalb des 



Intervalles bleibt. 



Während also die Convergenzbedingung (Eq) ausdrückt, dass die 



(p(k) 

 rationalen Zahlen , mit wachsendem Werthe von k gegen einander 

 ■4/(k) 



convergiren, zeigt die Divergenzbedingung (5)), dass eben diese 



(p{k) 

 Zahlen , mit waclisendem k immer weiter von r divergiren. 

 ■4/{k) 



XXXIX. Dass nicht füi- jede Reihe gegen einander conver- 

 girender Zahlen die Möglichkeit der Ermittelung einer der Divergenz- 

 bedingung (D) genügenden Grösse ^V gegeben ist, tritt schon bei 

 DiRicHLET im §.4 seiner Abhandlung über die arithmetische Pro- 

 gression deutlich hervor. 



von 



Null verschieden ist. Hierbei ist w irgend eine Wurzel der Gleichung: 



