1006 Gesainmtsitzung vom 26. Juli. — Mittheiliing vom 12. April. 



der CuRiSTOFFEL'schen Untei'.sucliungen ^ über »Irrationalzahlen«, und 

 es i.st die Reihe der DiiFerenzen: 



%{k)-%{k-i) (i-=.,2,3,...), 



welche Hr. Christoffel als »Charakteristik« eingeführt hat. 



Die Differenz zweier beliebiger Grössen weicht von der Differenz 

 ihrer nächsten ganzen Zahlen höchstens um einen echten Bruch ab; 

 es ist daher: 



und folglich ; 







= (.. 





+ £ 





(-I<E< + I) 



(-I<£<+I). 



Hieraus geht hervor, dass, wenn: 



%(^) — %(l^) 



(v - ß) 





gesetzt wird, die Grösse cr^ ,, nur den Werth o oder i haben kann, 

 und die Gleichung: 



(D) %(v) — %(^t) = y^(v — fJ.) + (r„„ (cr„.. = o oder a„,.= I) 



drückt also eine zwischen irgend drei Werthen %(iu) , %(v) , %{i' — ju) 

 nothwendig bestehende Relation aus." 



Setzt man |u = i/ — i , so sieht man , dass eine der beiden 

 Gleichungen : 



%(") — 7o(i'— •) = 



<p{n) 



Mn) 



, yM — xl" — 



>{n) 



4y{n) 



+ 1 

 < P (») 



(p (7l) 



stattfinden muss. Ist nun , ein echter Bruch, also 



4/ («) 



so schreiten die Zahlen % [k) beim Übergang von einem Argument 

 zum nächstgrösseren höchstens um eine Einheit fort, und darumsind 

 die einzelnen Elemente der CnRiSTOFFEL'schen »Charakteristiken« nur 

 o oder i . 



Setzt man in der obigen Formel (©): 



V = hfj. (Ä = 2 . 3 , . . . X) 



und summirt über alle angegebeneu Werthe von // , so kommt: 



% (M = A% (f/) + 2o-„,A„ (A = 2 . 3 , . . . X) 



und, da jedes er nur den Werth o oder i hat: 

 o < X (Aw) - Ax (^i) < A . 



' Lehrsätze liber arithnietisohe t^ijiPnsclinftcii der Irrationalzalilen. (Aniiali di 

 Mateniatica piira ed applicata.) 



^ Vergl. die citirte Abliandliiii" de.s Hrn. Chri.stuffel. 



