Kronecker: Complexe Zahlen und Jlodnlsvstenie. 1011 



Alle Gesetze der Zahlen y^(l\) müssen sich also aus deren Darstellung 

 in der Form : 



ergeben, wo die Zahlen ^/, irgend welche der Bedingung: 



genügende Zahlen bedeuten, mit einzigem Ausschluss solcher, für die, 

 wenn u. irgend eine ganze Zahl Vjedeutet: 



^/, = o (Ä>p) 



oder : 



ist. 



Die obige in der Gleichung (J) enthaltene Bestimmung der 

 Zahlen %{k) ist nicht die einzig mögliche, sondern nur die möglichst 

 einfache. Die allgemeinste vollständige Bestimmung der Zahlen x(Ä') 

 ergiebt sich, wenn man in der obigen Entwickelung an Stelle jener 

 Zahlen i , w, , co, , . . . irgend welche Zahlen i , i\ , ^^ , . . . nimmt, welche 

 die Eigenschaft haben, 



dass erstens jede durch die vorhergehende theilbar ist, und 

 dass zweitens alle ganzen Zahlen Divisoren von Zahlen ii 

 sind. 

 Bezeichnet man die verschiedenen Divisoren von ^„, die nicht 

 zugleich Divisoren von 0^_, sind, mit: 



n,, , n ,, , n„3 , . . . , 



so kann man sich, da gemäss der zweiten Voraussetzung unter den 

 Zahlen n alle ganzen Zahlen vorkommen, diese in der Reihenfolge: 



tu, , 1U2 , . . . n^a ; ";„ , "32 > • • • "36 ; "4, , "42 > • • • 'V • • • ■ 



denken, und die Zahl f2„ ist dann als das kleinste Vielfache aller 

 derjenigen Zahlen n zu definiren, deren erster Index eine der Zahlen 

 2 , 3 , ... V ist. Wenn man andrerseits die sämmtlichen positiven 

 ganzen Zahlen 2,3,4,... nach irgend einem Gesetze ordnet und 

 alsdann für fJ, das kleinste Vielfache der a ersten Zahlen, für r2, das 

 kleinste Vielfache der a + h ersten Zahlen, für i\ das kleinste Viel- 

 fache der a + l> + r ersten Zahlen u. s. f. nimmt, so erhält man stets 

 Zahlen il von der oben angegebenen Beschaffenheit. 



Ersetzt man in der obigen Entwickelung die Zahlen w durch 

 ii-gend welche der allgemeineren Zahlen O, so resultirt unmittelbar 

 die Formel : 



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