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Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. 



Von L. Fuchs. 



Uie folgenden Entwickelungen bilden einen Theil von Untersuchungen, 

 welche ich über lineare Differentialgleichungen angestellt habe, und 

 welche ihren Ausgangspunkt von den folgenden Erwägungen genommen 

 hallen. Es sei y, , y, , . . . y^ ein Fundanientalsystem von Integralen 

 einer linearen homogenen Differentialgleichung pter Ordnung, deren 

 Goefficienten rationale Functionen der unabhängigen Variablen x sind. 

 Es seien y-^,y., ■ ■ -y, A willkürliche Elemente aus der Reihe y, , y, , . . . y^„ 

 und es werde eine Determinante von A- Elementen gebildet, deren 

 Horizontah-eihen aus den Ableitungen gleicher Ordnung von y,,y.,, . . .y^, 

 bestehen. Die Ordnung dieser Ableitungen sei durch eine der Zahlen 

 o , \ , 1 , . . . p — I bestimmt und sei für die verschiedenen Horizontal- 

 reihen verschieden. Solcher Determinanten können wir 



^ j?(j3 — i)--.(j^ — A+i) 

 ^ ~ I • 2 ... X 



bilden. Bezeichnen wir diesellien in irgend einer Reihenfolge mit 

 «0, «i ,?/,,... ?/j_, , so ergiebt sich für diese Functionen das System 

 von Differentialgleichungen 



dx 



wo J.^0 , ^j, , . . . yl^.j _ , rationale Functionen von x bedeuten. Aus 

 diesem Systeme können wir demnach für jede der Functionen Ui, 

 eine lineare homogene Differentialgleichung ^ter Ordnung mit ratio- 

 nalen Goefficienten herleiten. 



Das Folgende beschäftigt sich mit der Untersuchung dieser 

 Differentialgleichungen, unter der Voraussetzung, dass die Ordnung p 

 der vorgelegten Differentialgleichung eine gerade Zahl in ist, und 

 sie bezieht sich auf den Fall, dass X = n gewählt wird. 



Li einer folgenden Mittheilung beabsichtige ich eine Fortsetzung 

 der gegenwärtigen Untersuchung und eine Anwendung zu veröffent- 

 lichen, welche ich von derselben gemacht habe, und die Ziele dar- 

 zulegen, welche ich dabei im Auge gehabt. 



= A-o"o + A-,«. + • • • + Ay-i«? 



