1116 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom I.November. 



1. 

 Es seien die Coefficienten der Differentialgleichung 



(A) ^^^■^ + ---+" = ° 



rationale Functionen von x. 



Sind y^, y,, . . .y„ n von einander linear unabhängige Litegrale 

 der Gleichung (A) , so wollen wir eine Determinante mit if Elementen 

 bilden, deren Horizontalreihen aus den Ableitungen gleicher Ordnung 

 von y^,y^, . . .yn bestehen. Die Ordnung dieser Ableitungen sei durch 

 eine der Zahlen o , i, 2 , . . . 2h — i bestimmt und sei fiir die verschie- 

 denen Horizontalreihen verschieden. Solcher Determinanten können wir 

 211 {in — i) ...(« + 1) 

 {• 2 . . .n 

 bilden. Bezeichnen wir dieselben in irgend einer Reihenfolge mit 

 ?/o,?/, ,«, , . . . w,._, und setzen nur fest, dass k^ diejenige unter diesen 

 Determinanten sei, in welcher die Ordnungen der Ableitungen in 

 den verschiedenen Horizontalreihen der Reihe nach o , i , 2 ,...« — i 

 sind, und welche wir die Hauptdeterminante von y^,y^ ,. . .y„ 

 nennen wollen. 



Bedeuten z^, z^, . . . z„ ein anderes System von n linear unab- 

 hängigen Integralen der Gleichung (A), so mögen diejenigen Deter- 

 minanten, welche aus Mq ,?/,,... ?/„_, hervorgehen, wenn an Stelle 

 von y^.y^, . . . y„ bez. z^, z,_, . . . z„ gesetzt werden, bez. mit 

 Dg , r, , . . . ü„_, bezeichnet werden. 



Bezeichnen wir ferner die Hauptdeterminante der 2« Integrale 

 y,,y^, . . .y„; z,,z^, . . .z„ mit A, so ist' 



(B) A = C..-■^''•''^ 



wo C eine Constante bezeichnet, welche von Null verschieden ist, 

 wenn y^, y^, . . . y„; z,, z,, . . . z^ ein Fundamentalsystem von Integralen 

 der Gleichung (A) ausmachen, dagegen den Werth Null annimmt, 

 wenn dieses nicht der Fall ist. 



Zerlegen wir A in eine Summe von Producten aus Partial- 

 determinanten wter Ordnung, so erhalten wir unter Berücksichtigung 

 von (B) zwischen ii^, u,, . . . ?<„_, ; r^, w, , . . . r„_, die Relation 



(C) A = "xl + u, «?_,_, = C . e-J''^ "■' , 



o 



wo die Vorzeichen nach bekannter Regel zu bestimmen sind, und 

 wo C den oben bezeichneten constanten Werth hat. 



' Siehe meine Arbeit Borch. Joni-n. Bei. 66 S. 126 — 130. 



