Fuchs : Zur Theorie der linearen DiflFerentialgleichungea. 111/ 



2. 



Ist 2/, , ^2 > • • • Vin pi^ Fimdamentalsystem von Integralen dex- Glei- 

 chung (A), bilden wir die v Combinationen derselben zu je n, und 

 setzen in u^ (Nr. i ) an Stelle von yi,y^, ■ ■ -yn je eine solche Com- 

 bination, so erhalten wir v verschiedene Grössen u^, welche wir mit 

 Wo),, Wu 5 • • • w,— 1>, bezeichnen wollen, indem wir festsetzen, dass ?/„-i-«,x 

 aus denjenigen Functionen y^. gebildet werde, welche vom Systeme 

 yi,y2, ■ ■ • y^n übrig bleiben , nachdem hiervon die zur Bildung von 

 u,^^ zu verwendende Combination weggenommen worden. 



Wir bilden die Determinante 



(I) P=\%>\ ■ 



X = 0, I, 



Da 



|W,J = |w„_,_^,.,_,_x|, 



so ergiebt sich 



(2) P'-=\y.>.\ |"..-:-..„-,-x|. 



Vollführen wir die Multiplication der beiden Determinanten rechter- 

 hand, so erhalteii wir unter Berücksichtigung der Gleichung (C) eine 

 Determinante mit v^ FJementen, deren Diagonalglieder, abgesehen von 

 einem constanten Factor, den Werth p^J''''^ annehmen, während die 

 übrigen verschwinden. Demnach ergiebt sich 



(D) P= C-e ■'■' ' , 



wo C eine von Null verschiedene Constante bedeutet. 

 Aus Gleichung (D) folgt 



I. Die Determinante P ist nicht identisch Null. 

 Sei 



(3) ^oWo + </',«, + ••• + <?.-,«,._, = o 



eine Gleichung, welche für jede beliebige Combination y, , ^., ,... y„ 

 bestehe, so ist demgemäss auch 



(4) </>o"io+</'.W/i+ ••• + <?>,.-,«/._, = O für / = 0.1...,. -I 



Da aber die Determinante P dieser Gleichungen mit den Unbekannten 

 (pa, <Pi, • ■ ■ <p,-i nach S. I von NuU verschieden ist, so muss 



C^o = <^i = • • • = <P.-i ~ o 

 sein, d. h. 



II. Zwischen u^,u,, ...«,,__, kann nicht eine für jede 

 Combination y, , 2/2 > • • • y« gültige lineare homogene Relation 

 bestehen. 



Diflerentiiren wir?/; und ersetzen die Ableitungen von y, ,2/^,. .«/„, 

 deren Ordnung in oder grösser als 211 durch ihre aus der Gleichung (A) 

 sich ergebenden Ausdi'ücke in den Ableitmigen niedrigerer Ordnung, 

 so erhalten wir 



