1118 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom I.November. 



(E) -p = (p,oK + <^u «. + + <P,,.-, %-i 



X^O , I ,2,...!' — I, 



worin cp^i, rationale Functionen von x ])edeuten. 



Aus diesem Systeme von Gleichungen ergiebt sich, dass auch 

 die höheren Ableitungen von u^ lineare homogene Functionen von 

 «o ,«,,.. . ?/,_, sind. Es sei insbesondere 



(F) -^ = ^//,„W„ + ^|/,,7/, + ... +^^A•,.-,«.-., 



WO ^l'k,. rationale Functionen von x sind, so bleiben diese Gleichungen 

 bestehen, wenn wir in derselben v^ durch «& und u^ durch % 

 ersetzen. Bezeichnen wir die Hauptdeterminante der Functionen 

 Wooj «10' «2o; • • -"v-io mit ^' so ist nach den Gleichungen ( i ) und (F) 



(G) ^=Q-P, 

 wenn wir die Determinante 



(5) \M-Q 



setzen. Aus Gleichung (D) folgt daher: 



111. Die Determinante S^ ist dann und nur dann Null, 

 wenn die Determinante Q verschwindet. 



3. 



In den Gleichungen (F) mögen dem k die Werthe i , 2 , . . . v liei- 

 gelegt werden. Aus dem entstehenden System von v Gleichungen 

 eliminiren wir u,,i(^, . . .«/„_,, so ergiebt sich, wenn wir w statt w^ 

 setzen, als Resultat der Elimination 



(H) ^ + P'1^ + --- + P^^^ = ^' 



wo P^, . . . P^ rationale Functionen von x bedeuten. Diese Differential- 

 gleichung wird durch die v Functionen ?/oo> «lo; • • • ''.— lo befriedigt. 

 Ist die Determinante Q identisch Null, so können aus den 

 V Gleichmigen , welche aus (F) für ä;=o,i,...v — i zu bilden sind, 

 t/, , «2 , . . . ?/„_, eliminirt werden. Wir erhalten alsdann als Resultat 

 der Elimination eine Differentialgleichung für u niedrigerer als vter Ord- 

 nung, welcher die Functionen ?<o„, w,o, ... ?<„_,o genügen müssen. Ist 

 aber Q von Null verschieden, so ergiebt sich aus .S. III. vor. Nr., 

 dass die Differentialgleichung, welcher diese Functionen genügen, 

 nicht niedriger als i/ter Ordnung sein könne. Denn da i& von Null 

 verschieden ist, so ist das Bestehen einer linearen homogenen Rela- 

 tion mit constaiiten Coefficienten zwischen «oo ? "lo ^ • • • "»-lo ausge- 



