Fuchs: Zur Theorie der linearen Differentinlgleicliungen. 1119 



schlössen/ eine solche Relation würde aber aus der Annahme, dass 

 diese Functionen einer Differentialgleichung niedrigerer als vter Ord- 

 nung genügten, hervorgehen müssen. Wir haben also das Resultat: 

 1. Die Functionen «/oo,«,o, .. .«,._,o genügen einer linearen 

 homogenen Differentialgleichung mit rationalen Coefficien- 

 ten. Dieselbe wird erhalten, wenn wir in (F) successive 

 Ä: = o , I , 2 . . . setzen und aus den entstehenden Gleichungen 

 M,, «2) •••w.-i eliminiren. Ist Q nicht identisch Null, so wird 

 die Differentialgleichung genau vter Ordnung [Gleichung (H)], 

 und es sind w^o, ?i,o, ...«/„_,o ein Fundamentalsystem derselben. 

 Ist aber Q identisch Null, so wird die Differentialgleichung, 

 welcher «00 , M,o ,... »,,_,o gleichzeitig genügen, niedriger als 

 vter Ordnung. 



4. 



Es werde vorausgesetzt, dass Q nicht identiscli verschwindet. 

 Alsdann folgt durch Auflösung der Gleichungen (F) (welche aus 

 ^=0,1,. ..v — I entstehen) , für die Unbekannten w^ 



(J) «. = X>,o«o + %>..< + • • • + %>„._,<""", 



bedeuten. 



Die Gleichungen (J) bleiben bestehen, wenn wir ?/, durch w,^ 

 und «Jf' durch ?;J^' ersetzen. Machen wir diese Substitution für 

 l = o , i , . . . v — I, multipliciren die Gleichungen successive mit den 

 Constanten y^, J, , ■ ■ . 7.,_, und setzen 



(0 iv = y^ti^ + y,u,^ + . . . + 7,._, ?',.-, o 



(2) W^ = 7oMo>. + 7,w.u + . ■ . + 7.-,«v-w., 



wo it^, mit V, übereinstimmt, so folgt 



(3) «?. = %>,o«' + XmW' + . . . + X>..-,'W''~", 



wo wiederum 



gesetzt ist. 



Wir bilden nunmehr den Ausdruck 



"— ' 



(4) E = 2,. dt w,. «;,_,_,, 



wo das Vorzeichen des Gliedes tv-,w„_.. mit dem Vorzeichen des 



- = «o ' gesetzt worden , und wo y^.j. rationale Functionen von x 



' Vergl. meine Arbeit Borch. Jonrn. B. 66 S. 126 — 130. 



