1122 Sitzung der physikalisch - matliematischen Classe vom I.November. 



Subtrahiren wir (3) von (1), so ergiebt sich demnach, dass 

 identisch für jede beliebige Function t 



Nach Satz II voriger Nummer wird die rechte Seite dieser Gleichung 

 identisch Null, wenn für t irgend ein Integral der Gleichung (H') 

 substituirt wird. Setzen wir demnach 



(N) g^ = M= Sj^'-^> + S,&-^^ + ... + S.._,t, 



wo <So, 'S, , . . . 5„_, rationale Functionen von x, so ergiebt sich der Satz 



I. Bedeutet t irgend ein Integral der Gleichung (H'), so 

 ist M ein Multiplicator dieser Gleichung, oder was dasselbe 

 besagt, es ist M ein Integral der zu (H') adjungirten' Diffe- 

 rentialgleichung. 



Bilden wir die successiven Ableitungen von M, indem wir die 

 Ableitungen von / , deren Ordnung gleich oder grösser als v ver- 

 mittelst der Gleichung (H') auf die Ableitungen niedrigerer Ordnung 

 reduciren, so ergiebt sich 



d''M 

 (4) -j^ = "iJ +a,j'+ ... + a,^_, ^"- " . 



Setzen wir hierin k = o , i ,...v — i und bezeichnen ein Fundamental- 

 system von Integralen der Gleichung (H') mit t^ , f^ , . . . t^ , die nach 

 Gleichung (N) zugehörigen Werthe von M bez. mit M, , 3f^ , . . . M^ , so 

 wie die Hauptdeterminanten von t, , t^ , . . . i,, und von M^ , M, , . . . M,. 

 bez. mit T und M , so ist den Gleichungen (4) gemäss 

 (6) M=|«,,|.T. 



Der zweite Factor auf der rechten Seite ist von Null verschieden, 

 weil tjyt^, ...t, ein Fundamentalsystem bilden ,^ folglich ist die Haupt- 

 determinante M der Functionen M, , M^ , . . . 31^ gleichzeitig mit | «j.; | 

 Null oder von Null verschieden. Ist aber M von Null verschieden, 

 so ist M, , M^, . . . M,. ein Fundamentalsystem von Integralen der zu 

 (H') adjungirten Differentialgleichung.^ Wir erhalten also den Satz: 



II. Die V Functionen M^,3I,_, .. .31^, welche aus Gleichung 

 (N) hervorgehen, wenn i durch die Elemente eines Funda- 

 mentalsystems i^ , t^ , . . . t,. von Integralen der Gleichung (H') 

 ersetzt werden, bilden ein Fundamentalsystem von Inte- 



' Diese Bezeichnung in dem Sinne genommen, welchen ich derselben in meiner 

 Arbeit Borch. Journal B. 76 S. 183 beigelegt habe. 



^ S. meine Arlieit Borch. Journal B. 66 S. 126 — 130. 

 ^ S. ebendaselh.st. 



