Fuchs: Zur Theurie der linenren Differentialgleichungen. Il2d 



gralen der zu (H') adjungirten Differentialgleichung oder 

 sie bilden ein solches nicht, je nachdem \ai.i\ von Null ver- 

 schieden, oder gleich Null. 



Ist \a^.i\ nicht Null, so können wir aus den Gleichungen (4) 

 (wenn daselbst A- = o , i , . . . v — i gesetzt wird), /,/',... <' ~" als lineare 

 homogene Functionen von M , M', . . . M^"~'^ mit rationalen Coefficienten 



bestimmen, wenn ilf '*' := — ~r- gesetzt wird. Da nun jedes Integral t 



ax ' 



der Gleichung (H') ein Multiplicator der zu (H') adjungirten Difie- 

 rentialgleichung ist, so erhalten wir als Correlat zum Satze II den Satz 

 III. Ist |a^.;| von Null verschieden, so sind auch die 

 Multiplicatoren der zu (H') adjungirten Differentialgleichung- 

 lineare homogene Functionen mit rationalen Coefficienten 

 der Integrale M dieser Differentialgleichung und ihrer Ab- 

 leitungen. 



6. 



Es sei T, , T, , . . . T,. ein Fundamentalsystem von Integralen der 

 Gleichung (H') von der Beschaffenheit, dass das Element r^ zu 31^ 

 adjungirt ist,' so haben wir die Gleichungen 



(l) 2;T,il^<*'= O für A- = o,l,...v-2 



l 



(2) ir,ij//'->=r-' 



I 



Wir .substituiren in diese Gleichungen die Ausdrücke (4) voriger 

 Nummer, indem wir daselbst successive t = i, , < = 4 > • • • ^ = t setzen. 

 Ist I ü/ci I von Null verschieden , so können wir A^, , A, , . . . A,,_, so 

 bestimmen, dass 



(3) 2„,A,„fl„, = O fiu- /= 1,2,. ...i— I 

 o 



V— I 



(4) 2„A„cf„,o= 1 



o 



Multipliciren wir dann die Gleichungen ( i ) successive mit A^ , A, , . . . A„_j, 

 die Gleichung (2) mit A„_, und addiren sämmtliche Gleichungen, so folgt 



(0) ijnJn, = K-, , 



1 



WO A„_, eine rationale Function von x. Die linke Seite der Glei- 

 chung (0) ist eine quadratische Form von t^ , t^, . . . t„ mit con- 

 stanten Coefficienten. 



' In dem Sinne, welchen ich dieser Bezeichnung in meiner Arbeit Bokch. Journal 

 Bd. 76 S. 183 beigelegt habe. 



' S. die Arbeit des Hrn. Frobenius, Borch. Journ. Bd. jj S. 249. 



