Fuchs: Zur Tlieorif der liiuMrcn nirtVrt'iitialsleicIiungen. 1125 



einer linearen homogenen Differentialgleichung (H') vter 

 Ordnung, oder einer solchen Differentialgleichung, 



(i) M=o 



v—itev Ordnung Genüge leisten. Wir wollen zum Beschluss 

 dieser Notiz die Gestalt einer Function Z', welcher diese Eigenschaften 

 zukommen, etwas näher charakterisiren. 



Nach Gleichung (N) können wir setzen 



(2) z' = -^if^- + z;, 



WO Z,' eine homogene Function zweiten Grades von t, t' , . . . <''^-' mit 

 rationalen Coefficienten bedeutet. 

 Sei 



(3. $=3!^ •"-' + *. 



WO R eine homogene ganze Function von t,t', . . . /'""*'. 



Aus der oben angegebenen Beschaffenheit von Z' und aus Glei- 

 chung (2) ergiebt sich, dass Z,' einen constanten Werth erhalten muss, 

 wenn für t ein Integral der Gleichung (i) gesetzt wird. Demnach 

 folgt aus Gleichung (3): 



(4) o=-^(|.-.+ ...+^,) = «. 



Ist Sa von Null verschieden, so ist diese Gleichung wieder eine 

 identische. Denn t ist ein willkürliches Integral der Gleichung (i), 

 es können daher die Anfangswerthe von t,t' ,.. .t'-"~-^ willkürlich ge- 

 wählt werden, demnach kann zwischen diesen Grössen eine Relation 

 nicht stattfinden. Subtrahiren wir Gleichung (4) von Gleichung (3), 

 so ergiebt sich die für jede beliebige Function t bestehende 

 Gleichuns: 



(M', "^' '■'-■ 



Setzen wir 



8z'. 





(N') -g^ = M, = T,&--^ + r, /<-3) + . . . + T,_j, 



so folgt: 



Ist t irgend ein Integral der Gleichung (i), so ist ilf, ein 

 Multiplicator dieser Gleichung und die Function Z\ hat fol- 

 gende Eigenschaft: Sie nimmt einen constanten Werth für 

 solche Functionen t an und nur für solche, welche ent- 

 weder der Gleichung (i) oder der Gleichung 

 _ (5) M, = o 



Genüge leisten. 



