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Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. 



Von L. Fuchs. 



(Fortsetzung der Mittlieiluug vom 1. November \s. oben S. 1115].) 



Hezeiclmen wir die linke Seite der Gleichung (H') mit H{() und be- 

 deute M{() den durch Gleichung (N) gegebenen Ausdruck, alsdann 

 ist nach Gleichung (M) 



(1) M{t)H{t)=^^. 



Sei H'{t) der zu H{t) adjungirte Diflerentialausdruck , so ist' 



(2) vHlt)-^ tH' (ü) =^~ H(t, v) , 



dx 



wo t, V beliebige Functionen von x und wo H{t, v) einen in t,v und 

 ihren Ableitungen bis zur (v — i ) ten Ordnung linearen und homogenen 

 Ausdruck bedeutet. 

 Setzen wir 



V = M(t) , 

 so ergiebt sich 



(3) M{t) H{t) - tH' {M{t)) = ^H{t, Mit)) . 

 Diese Gleichung ist nach Gleichung (i) gleichbedeutend mit 



(4) '§-m'{Mit))=.^H{t,Mit)), 



demnach muss auch für jede Function t der Ausdruck 



tH' {M{t)) 



ein vollständiger Difi'erentialquotient sein. 



Ist aber f{n) ein Differentialausdruck von der Eigenschaft, dass 

 u •/{>() für jede Function u der vollständige Differentialquotient einer 

 in II und seinen Ableitungen lineaa'en und homogenen Function n (i/) 



Jacoei, Crelle's Journal Bd. 33 S. li 



