1274 SiUunji der pliysikalisch-mathematisclien Classe vuiii 13. Deeember. 



und ist /' («) der zu / {ii) adjungirte Differentialausdruck , so ist 

 identisch 



/'{«) = -/(«) 

 und umgekehrt.' Da nun der zu H' (^M{f)) adjungirte Differential- 

 ausdruck dem Ausdrucke M'^H{t)^ gleich Avird, wenn wir mit 31' {i) 

 den zu M{t) adjungirten Ausdruck bezeichnen," so ergiebt sich aus 

 Gleichung (4), dass identisch für jede Function i 



(M) H'{M{t)) = -M'{H{i)). 



Ist umgekehrt diese Gleiclmng' identisch erfiillt, so ist tH'(^M(t)) 

 ein vollständiger Differentialquotient und demgemäss aucli nach 

 Gleichung (3) M{t) • H{t) ein vollständiger Differentialquotient. 



9. 



Wir gehen nunmehr zur Untersuchung des Falles über, in welchem 

 die Gleichung (H') reductibel wird.^ Zuvor aber wollen wir einige auf 

 allgemeine lineare Differentialgleichungen bezügliche Sätze aufstellen, 

 von welchen wir Gebrauch machen werden. 



Sei eine lineare, homogene Differentialgleichung 



mit rationalen Coefficienten vorgelegt, so genügt jeder Ausdruck 

 der Form 



(2) w = A,i/ + A,y' + ...+ A^-.y"—» = P{y), 



in welchem A^ , A^ , . . . A,„_^ rationale Functionen von x und die 

 oberen Accente Ableitungen bedeuten, ebenfalls einer linearen Diffe- 

 rentialgleichung höchstens mter Ordnung. Differentiiren wir nämlich 

 die Gleichung ( 2 ) und ersetzen die Ableitungen von y höherer als 

 mter Ordnung mit Hülfe der Gleichung ( 1 ) durch die Ableitungen 

 niedrigerer Ordnung, so ergiebt sich, dass jede Ableitung von iv eine 

 lineare homogene Function von y,y', . . .y"'~" mit rationalen Coeffi- 

 cienten ist. Durch Elimination von y ,y' , . . . y^"'~^^ aus den Aus- 

 dinicken für w , w' , . . . w*'"' ergiebt sich die bezeichnete Differential- 



' Vergl. den vor Kurzem erschienenen II. Theil der 'iLeij-ons siir la theorie des 

 surfaces« von Hrn. Darboux S. iii. 



' Siebe Frobenius. Borchardt's. Journal Bd. 8"; S. 189. 



' Über die Begriffe der Irreductibilität und Reductibilität siehe Frobenius, 

 Borchardt's Journal Bd. 76, S. 236. 



