Fuchs: Zur Tliporie der linearen Differentialgleichungen. (Forts.) 1275 



gleichung für ir. Alle diese Diöerentialgleichungen wollen wir mit 

 Riem.\nn' als niit(i) zu derselben Classe gehörig bezeichnen. 



Seien A^, A,, . . . . A,„_, Avillkürlicli gewcählte rationale Functionen 

 und bezeichnen y^,y,,... y,„ ein Fundamentalsystem von Integralen 

 der Gleichung (i), so ist eine Relation der Form 



(3) T.i't.!/,) + i.ny.) + . . . + T^i'CyJ = o , 



wo 7, , 7, , . . . 7,„ Constanten bedeuten, nicht möglich. Setzen wir 

 nämlich 



(4) 7.y. + '^^y^ + • ■ ■ + ImV,,, = >1, 



so ist Gleichung (3) gleichbedeutend mit 



v5) ^*i + A>i' + . . . + ^„,_,V"'~" = o. 



Es ist >] ein Integral der Gleichung (i), welches der Voraus- 

 setzung nach nicht identisch verschwinden kann. Da aber Gleichung (i) 

 nicht mit der willkürlichen Differentialgleiclumg 



ein Integral gemeinschaftlich haben kann, so kann die Gleichung (5) 

 folglich auch die Gleichung (3) nicht bestehen. 



Aus Gleichung (2) ergiebt sich durch Differentiation 



(6) «■'*■' = A,,y + A,y +... + A-,„_,/"-", A- = o. .,...»- .. 

 Die Hauptdeterminante der Functionen y, ,2/25 •••2/», ^^^ ^ und die- 

 jenige der Functionen m?, = ^(y,) , 1^2 = ^(^2) 5 • • • '"'/« = Pi^n) sei ^, 

 so folgt aus 



(7) *=|^.;|A, (i./ = 0,.,...m-l) 



dass die Determinante | A^ | nicht verschwinden kann , weil sowohl 

 A als auch ^ von Null verschieden sind. Man kann also aus den 

 Gleichungen (ö) y, folglich auch die Integrale aUer zu derselben Classe 

 gehörigen Differentialgleichungen, als lineare homogene Functionen von 

 tv , w', . . . w'"""" mit rationalen Coefficienten darstellen. Wir erhalten 

 also den Satz: 



I. Sind Ag, A, , . . . A,„_, willkürlich gewählte rationale 

 Functionen, so ist die Differentialgleichung, welcher lo ge- 

 nügt, nicht niedriger als 7??ter Ordnung, und man kann um- 

 gekehrt y also jedes Integral einer der Classe zugehörigen 

 Differentialgleichung als lineare homogene Function von 

 w , M?' . . lü'"'"""' mit rationalen Coefficienten darstellen. 



' Gesammelte Werke, Naclilass. S. 361. 



