127ß Sitzung der physikalisch -iiiatheniatischen Classe vom 13. Deceinber. 



Dm-ch diesen Satz ist die bevorzugte Stellung der CTleichung (i) 

 beseitigt, es kann an deren Stelle jede Gleiehmig derselben Classe, 

 von der mten Ordnung, treten. 



n. Ist eine Differentialgleichung der Classe reductibel, 

 so giebt es unter den Differentialgleichungen derselben 

 Classe auch solche, deren Ordnung kleiner ist als m. Die 

 Differentialgleichungen derselben Classe sind sämmtlich 

 reductibel. 



Ist nämlich Gleichung (i) reductibel, so existirt ein Diiferential- 

 ausdruck Q{y) der Ordnung fx<.m, von der Beschaffenheit, dass 



(8) R{y) = S{Q(y)) , 



wenn mit S{y) ein Differentialausdruck der (w« — f.^)ten Ordnung be- 

 zeichnet wird.' 



Ist w ein Integral einer Differentialgleichung der Classe, deren 

 Ordnung nicht kleiner als m, so folgt aus dem Obigen, dass y und 

 seine sämmtlichen Ableitungen als lineare homogene Functionen von 

 i«, w', ... ?<;'""'' darstellbar sind. Wir haben demnach 



(9) ^ = Q{y) = B,w + B,w'+ . . . + £„_,«'<'"-' = Q, (ir) , 

 wo Bq, B^, . . . -B„,_, rationale Functionen von x bedeuten. 



Da der Voraussetzung nach Q{y) für Integrale der Gleichung (i) 

 verseil winden soll, so hat die Differentialgleichung fiir iv mit einer 

 Gleichung 



Q,(w) = o 

 niedriger als ?Mter Ordnung Integrale gemeinschaftlich, ist also reduc- 

 tibel. Andererseits ist die Differentialgleichung für v derselben Classe 

 angehörig und es ist die Ordnmig derselben nach Gleichung (8) die 

 (?« — ju) te. Aus dem Satze II folgt als Corollar : 



in. Ist eine Differentialgleichung der Classe irreduc- 

 tibel, so sind alle Differentialgleichungen derselben Classe 

 irreductibel und es giebt unter ihnen keine von niedrigerer 

 Ordnung als von der mten. 



10. 



Die Coefficienten S„, S, . . . iS„_, in dem Multiplicator 

 (N) M{t) = Sj+Sj'+... + S„_, ^<"-) 



des Ausdruckes H{t) genügen einem gewissen Systeme (5) linearer 

 homogener Gleichungen mit rationalen Coefficienten, welche nach Nr. 8 



' Sielie Frodenuts, BoRcnARDx's Journal Bd. j6 S. 256. 



