FurHS: Zur TliPorie der linearen niftVrentialfilp.irhungen. (Forts.) 12/ / 



erhalten werden, wenn wir in Gleichung (M) die Coefficienten der 

 Ableitungen gleich hoher Ordnung von t auf beiden Seiten einander 

 gleichsetzen. Der Voraussetzung nach lässt dieses System rationale 

 Lösungen für Sq, «S, , ... <S„_., zu. 



Lässt das System (2) zwei rationale Lösungen 8^,8^,... S^_^•, 

 So , S,' , . . . <S„'_, von solcher Beschaffenheit zu, dass zwischen 

 den Functionen M(t) und M^{t), welche den Gleichungen 



( I ) M{t) = SJ+SJ'+...^ S„_, ^<"-» 



(2) " M,{t) = -s^r + s[i' + . . . + <s;_, /'"-" 



entsprechen, nicht eine Gleichung 



(3) M,{t) = yM{t) 



wo 7 von X unabhängig, identisch besteht, so ist die Glei- 

 chung (H') reductibel. 



Es sei nämlich t = ^ eine Lösung der Gleichung (H'), .so ist 

 nach dem Satze I in Nr. 5 [vergl. die Gleichung (M)], sowohl M{^), 

 als auch M^{^) ein Integral der zu (H') adjungirten Differential- 

 gleichung 



(4) H'{i) = o. 



Die Differentialgleichungen, welchen M{^), M,(^) genügen, sind mit 



der Gleichung (H') von derselben Classe. Ist (H') irreductibel , so 



sind, nach Satz III voriger Nummer, auch die ersteren Gleichungen 

 irreductibel und es ist 



werden. — Demnach ist auch 



(7) ^, = M,{^) = Uo» + IW+ ... + IU,V'-' 



wo Ug , II, , . . . ll,,_, rationale Functionen von x sind. Es l)esitzt daher 

 die Gleichung (4) zwei Integrale yj und j], , welche in der durch Glei- 

 clunig (7) gegebenen Beziehung zu einander stehen. Der Voraus- 

 setzung nach besteht eine Gleichung der Form (3) nicht identisch. 

 Würde sie für t = ^ erfüllbar sein, so müsste die Gleichung (H') 

 mit der Gleichung 



(8) M,(t) — yM{t) = o 



Integrale gemeinschaftlich haljen und daher reductibel sein. Würde 

 die Gleichung {3) nicht für t =: ^ erfüllbar sein, so würde aus dem 



